Considerando um circuito RLC Paralelo, calcule os valores da impedância (forma polar), das correntes i, i_{R}, i_{L}, i_{C} para os casos abaixo:
v=j 15 \mathrm{~V} ; R=50 \Omega ; X_{L}=45 \Omega ; X_{C}=48 \Omega

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule, para um circuito RLC paralelo, a impedância equivalente (em forma polar) e as correntes totais e de cada ramo. Os dados fornecidos são:
v = j\,15\\ \text{V},\quad R = 50\\ \Omega,\quad X_L = 45\\ \Omega,\quad X_C = 48\\ \Omega.
As quantidades a encontrar são:
  • a impedância equivalente Z (forma polar),
  • a corrente total i,
  • as correntes dos ramos i_R, i_L e i_C.

Passo 2

Entendendo os elementos em forma de impedância (isso é importante na prova):
  • A resistência tem impedância puramente real \;Z_R = R.
  • Uma reatância indutiva aparece como \;Z_L = jX_L.
  • Uma reatância capacitiva aparece como \;Z_C = -\,jX_C.
Com os dados:
Z_R = 50\\ \Omega,
Z_L = j\,45\\ \Omega,
Z_C = -j\,48\\ \Omega.

Passo 3

Como os elementos estão em paralelo, é mais prático somar as admitâncias (admitância Y é o inverso da impedância: Y=1/Z). Vou calcular as admitâncias de cada ramo separadamente.
Admitância do resistor:
Y_R = \frac{1}{Z_R} = \frac{1}{50} = 0{,}02\\ \text{S}.
Admitância do indutor:
Y_L = \frac{1}{Z_L} = \frac{1}{j\,45} = -\,\frac{j}{45} = -j\,0{,}022222\ldots\\ \text{S}.
Admitância do capacitor:
Y_C = \frac{1}{Z_C} = \frac{1}{-j\,48} = \frac{j}{48} = j\,0{,}0208333\ldots\\ \text{S}.
Observação: dividir por j transforma a fase em -90^\circ e dividir por -j +90^\circ. Aqui eu converti direto para a forma retangular (parte real e imaginária).

Passo 4

Agora somo as admitâncias para obter a admitância total Y:
Y = Y_R + Y_L + Y_C.
Somando as partes reais e imaginárias:
\text{parte real: } 0{,}02.
\text{parte imaginária: } -0{,}022222\ldots + 0{,}0208333\ldots = -0{,}0013888889.á
Note que em forma fracionária isso é:
-\,\frac{1}{45} + \frac{1}{48} = -\frac{1}{720}.
Logo
Y = 0{,}02 - j\,\frac{1}{720}\\ \text{S} \approx 0{,}02 - j\,0{,}001388889\\ \text{S}.

Passo 5

Para passar à impedância equivalente Z eu faço Z = 1/Y. Antes, é útil obter a magnitude e o ângulo de Y, porque o inverso em polar inverte a magnitude e troca o sinal do ângulo.
Magnitude de Y:
|Y|=\sqrt{(0{,}02)^2+\left(\frac{1}{720}\right)^{2}} =\sqrt{0{,}0004 + \frac{1}{518400}} \approx 0{,}020048.
Ângulo de Y:
\angle Y = \arctan\!\left(\frac{\Im\{Y\}}{\Re\{Y\}}\right) = \arctan\!\left(\frac{-1/720}{0{,}02}\right) = \arctan(-0{,}0694444\ldots)\approx -3{,}976^\circ.

Passo 6

Agora o inverso em polar: se Y=|Y|\angle\theta_Y então
Z=\frac{1}{|Y|}\angle(-\theta_Y).
Então
|Z|=\frac{1}{0{,}020048}\approx 49{,}869\\ \Omega,
\angle Z = -(-3{,}976^\circ)=+3{,}976^\circ.
Arredondando de forma usual para a prova:
Z \approx 49{,}87\\ \angle\\\ 3{,}98^\circ\\ \Omega.
Também posso mostrar Z na forma retangular usando a fórmula do inverso:
Y = a + jb\quad\Rightarrow\quad Z=\frac{a - jb}{a^{2}+b^{2}}.
Com a=0{,}02 e b=-0{,}0013888889 isso dá aproximadamente
Z \approx 49{,}75 + j\,3{,}455\\ \Omega,
que tem magnitude e ângulo compatíveis com o valor em polar acima.

Passo 7

Agora calculo as correntes de cada ramo. Em paralelo, cada corrente é a divisão do mesmo V pela impedância do ramo. A tensão dada é V=j\,15\\ \text{V} (ou seja, magnitude 15 e ângulo +90^\circ).
Corrente no resistor:
i_R = \frac{V}{Z_R} = \frac{j\,15}{50} = j\,0{,}3\\ \text{A}.
Em forma polar: i_R = 0{,}3\\ \angle 90^\circ\\ \text{A}.
Corrente no indutor:
i_L = \frac{V}{Z_L} = \frac{j\,15}{j\,45} = \frac{15}{45} = \frac{1}{3}=0{,}333333\ldots\\ \text{A}.
Aqui os j se cancelam, então i_L é puramente real: i_L = 0{,}3333\\ \angle 0^\circ\\ \text{A}.
Corrente no capacitor:
i_C = \frac{V}{Z_C} = \frac{j\,15}{-j\,48} = -\,\frac{15}{48} = -0{,}3125\\ \text{A}.
Em forma polar isso é i_C = 0{,}3125\\ \angle 180^\circ\\ \text{A} (ou -0{,}3125\\ \angle 0^\circ).
Explicando rapidinho: o indutor provoca uma queda de +90° na impedância, o capacitor -90°, por isso as correntes de indutor e capacitor ficam com fases que resultam em sinais reais nesta divisão com V=j15.

Passo 8

Corrente total pela soma das correntes de ramo:
i = i_R + i_L + i_C.
Somando as partes reais e imaginárias (uso as formas retangulares):
i_R = 0 + j\,0{,}3,
i_L = 0{,}333333 + j\,0,
i_C = -0{,}3125 + j\,0.
Logo a parte real total é
0{,}333333 - 0{,}3125 = 0{,}020833333\\ = \frac{1}{48},
e a parte imaginária total é 0{,}3. Então
i = \frac{1}{48} + j\,0{,}3 \approx 0{,}0208333 + j\,0{,}3\\ \text{A}.
Agora converto para polar (fórmula: |i|=\sqrt{\Re^2+\Im^2} e \angle i=\arctan(\Im/\Re)):
|i|=\sqrt{\left(\frac{1}{48}\right)^{2}+0{,}3^{2}}\approx 0{,}300724\\ \text{A},
\angle i = \arctan\!\left(\frac{0{,}3}{1/48}\right)=\arctan(14{,}4)\approx 86{,}02^\circ.
Portanto
i \approx 0{,}3007\\ \angle\\\ 86{,}02^\circ\\ \text{A}.
Verificação rápida (consistência): também posso obter i como i = V/Z. Com |V|=15 e \angle V = 90^\circ, e Z\approx 49{,}87\angle 3{,}976^\circ, temos
|i|=\frac{15}{49{,}87}\approx 0{,}3007,\quad \angle i = 90^\circ - 3{,}976^\circ\approx 86{,}02^\circ,
o que confirma o cálculo pela soma dos ramos.

Passo 9

Resumo prático para a prova (dica amiga):
  • Sempre transforme cada elemento para Z (resistor real, indutor jX_L, capacitor -jX_C).
  • Em paralelo, some admitâncias Y=1/Z (facilita soma porque transforma em soma direta de partes real e imaginária).
  • Use \;Z=1/Y e atenção com o sinal do ângulo (inverte).
  • Para correntes de ramo, calcule i_k = V/Z_k diretamente; é comum que alguns termos fiquem puramente reais ou imaginários, então aproveite cancelamentos (como j/j).
  • Verifique com i=V/Z para garantir consistência — isso ajuda a pegar erros na prova.

Resposta

Z \approx 49{,}87\\ \angle\\\ 3{,}98^\circ\\ \Omega
i \approx 0{,}3007\\ \angle\\\ 86{,}02^\circ\\ \text{A}
i_R = 0{,}3\\ \angle\\\ 90^\circ\\ \text{A}
i_L \approx 0{,}3333\\ \angle\\\ 0^\circ\\ \text{A}
i_C = 0{,}3125\\ \angle\\\ 180^\circ\\ \text{A}

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