Considerando os coeficientes de expansão térmica e de compressibilidade de uma substância sólida, mostre que:
C_{P}=C_{V}+\frac{\alpha^{2} V T}{\beta}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a relação entre as capacidades térmicas à pressão e a volume constantes para um sólido, envolvendo o coeficiente de expansão térmica \alpha e o coeficiente de compressibilidade isoterma \beta. Vamos usar termodinâmica básica: definimos
\displaystyle \alpha = \frac{1}{V}\bigl(\partial V/\partial T\bigr)_{P}
e
\displaystyle \beta = -\frac{1}{V}\bigl(\partial V/\partial P\bigr)_{T}.
Além disso, sabemos que
\displaystyle C_{V}=T\bigl(\partial S/\partial T\bigr)_{V}
e
\displaystyle C_{P}=T\bigl(\partial S/\partial T\bigr)_{P}.

Passo 2

Vamos escrever a diferença C_{P}-C_{V} usando a entropia S. Temos
C_{P}-C_{V} = T\Bigl[\bigl(\partial S/\partial T\bigr)_{P}-\bigl(\partial S/\partial T\bigr)_{V}\Bigr].
Expandindo \bigl(\partial S/\partial T\bigr)_{P} em função de derivadas em V e T, obtemos
\bigl(\partial S/\partial T\bigr)_{P} =\bigl(\partial S/\partial T\bigr)_{V} +\bigl(\partial S/\partial V\bigr)_{T}\,\bigl(\partial V/\partial T\bigr)_{P}.
Logo,
C_{P}-C_{V} = T\;(\partial S/\partial V)_{T}\;(\partial V/\partial T)_{P}.

Passo 3

Usamos a relação de Maxwell
(\partial S/\partial V)_{T} = (\partial P/\partial T)_{V},
de modo que
C_{P}-C_{V} = T\;(\partial P/\partial T)_{V}\;(\partial V/\partial T)_{P}.
Agora expressamos as derivadas em função de \alpha e \beta. Primeiro,
(\partial V/\partial T)_{P} = \alpha\,V.
Em segundo lugar, pela recíproca das derivadas parciais (identidade cíclica),
(\partial P/\partial T)_{V} = -\frac{(\partial V/\partial T)_{P}}{(\partial V/\partial P)_{T}} = -\frac{\alpha\,V}{-\,\beta\,V} = \frac{\alpha}{\beta}.

Passo 4

Substituindo no expression de C_{P}-C_{V}, temos
C_{P}-C_{V} = T \;\frac{\alpha}{\beta}\;(\alpha\,V) = \frac{\alpha^{2}\,V\,T}{\beta}.

Resposta

C_{P}=C_{V}+\frac{\alpha^{2}\,V\,T}{\beta}.

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