Encontrar as equações de estado na representação da entropia para um sistema com equação fundamental dada por U=\left(\frac{v_{0}^{1 / 2} \theta}{R^{3 / 2}}\right) \frac{S^{2}}{V^{1 / 2}}, onde v_{0}, R e \Theta são constantes.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação fundamental na representação energia,
U = \Bigl(\frac{v_{0}^{1/2}\,\theta}{R^{3/2}}\Bigr)\,\frac{S^{2}}{V^{1/2}},
onde v_{0},R,\theta são constantes, e pede as equações de estado na representação da entropia, ou seja, devemos encontrar S(U,V) e então extrair as relações entre T, P, U e V.

Passo 2

Invertemos a relação para obter S em função de U e V. Defina
A=\frac{v_{0}^{1/2}\,\theta}{R^{3/2}},
então
U = A\,S^{2}\,V^{-1/2} \quad\Longrightarrow\quad S^{2} = \frac{U\,V^{1/2}}{A} \quad\Longrightarrow\quad S = A^{-1/2}\,U^{1/2}\,V^{1/4}.
Substituindo A, fica
S(U,V)=\frac{R^{3/4}}{v_{0}^{1/4}\,\theta^{1/2}}\;U^{1/2}\,V^{1/4}.

Passo 3

Na representação da entropia, as equações de estado vêm de
\frac{1}{T} = \Bigl(\frac{\partial S}{\partial U}\Bigr)_{V}, \qquad \frac{P}{T} = \Bigl(\frac{\partial S}{\partial V}\Bigr)_{U}.
Calculemos \partial S/\partial U:
\frac{\partial S}{\partial U} = A^{-1/2}\,\frac{1}{2}\,U^{-1/2}\,V^{1/4} = \frac{1}{2}\;A^{-1/2}\,U^{-1/2}\,V^{1/4}.
Como S = A^{-1/2} U^{1/2}V^{1/4}, notamos que
\frac{\partial S}{\partial U} = \frac{S}{2\,U}.

Passo 4

Agora \partial S/\partial V:
\frac{\partial S}{\partial V} = A^{-1/2}\,U^{1/2}\,\frac{1}{4}\,V^{-3/4} = \frac{1}{4}\;A^{-1/2}\,U^{1/2}\,V^{-3/4} = \frac{S}{4\,V}.

Passo 5

Usando as definições, obtemos:
\frac{1}{T} = \frac{S}{2\,U} \quad\Longrightarrow\quad T = \frac{2\,U}{S},
\frac{P}{T} = \frac{S}{4\,V} \quad\Longrightarrow\quad P = T\,\frac{S}{4\,V} = \frac{2\,U}{S}\,\frac{S}{4\,V} = \frac{U}{2\,V}.

Resposta

As equações de estado na representação da entropia são
S(U,V)=\frac{R^{3/4}}{v_{0}^{1/4}\,\theta^{1/2}}\;U^{1/2}\,V^{1/4},
T = \frac{2\,U}{S}, \qquad P = \frac{U}{2\,V}.

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