Considerando o conjunto de números naturais na notação de Peano (Definição 2), desenvolva as seguintes operações:
Desenvolva uma função para realizar a exponenciação de dois números naturais.
Desenvolva uma função para realizar a exponenciação de dois números naturais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para criar uma função de exponenciação usando os números naturais conforme a notação de Peano. Isso está dentro da área de matemática, mais especificamente na teoria dos números e na definição de operações básicas usando os axiomas de Peano. Para resolver isso, vamos precisar entender como os números naturais são definidos por Peano e como podemos construir a operação de exponenciação a partir dessas definições básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como os números naturais são definidos na notação de Peano. Começamos com o número zero, e cada número natural tem um sucessor. Então, temos:
- 0 é um número natural.
- Se $ n $ é um número natural, então seu sucessor é $ S(n) $.
Essa definição básica nos permite construir todos os números naturais.
Passo 3
Agora, vamos definir a operação de multiplicação, que é um passo intermediário necessário para definir a exponenciação. A multiplicação pode ser definida recursivamente da seguinte forma:
- Para qualquer número natural $ n $, multiplicar por zero dá zero: $ n \times 0 = 0 $.
- Para qualquer número natural $ n $ e $ m $, $ n \times S(m) = n \times m + n $.
Aqui, usamos a adição para definir a multiplicação, e a operação $ S(m) $ representa o sucessor de $ m $.
Passo 4
Com a multiplicação definida, podemos agora definir a exponenciação de dois números naturais $ a $ e $ b $. A exponenciação é repetida multiplicação, então definimos:
- Qualquer número elevado a zero é um: $ a^0 = 1 $ (onde 1 é o sucessor de 0, ou seja, $ S(0) $).
- Para qualquer número natural $ b $, $ a^{S(b)} = a^b \times a $.
Essa definição usa a multiplicação que definimos no passo anterior e a ideia de sucessor para construir a exponenciação.
Passo 5
Vamos formalizar a função de exponenciação usando essas definições. A função exponenciação $ expo(a, b) $ pode ser definida da seguinte forma:
Aqui, $ mult $ representa a função de multiplicação definida anteriormente, e $ pred(b) $ é o predecessor de $ b $, ou seja, o número que vem antes de $ b $.
Resposta
A função de exponenciação para números naturais na notação de Peano é definida recursivamente da seguinte forma:
Onde $ mult(a, b) $ é a multiplicação definida por:
E $ pred(b) $ representa o predecessor de $ b $.