Considerando o conjunto de números naturais na notação de Peano (Definição 2), desenvolva as seguintes operações:
Desenvolva a função even:
, que retorna
caso o número natural na notação de Peano seja par e
caso contrário.
Desenvolva a função even:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente desenvolver a função
even
que, usando a notação de Peano para os números naturais, determina se um número é par. Se for par, a função retorna T
(True) e se for ímpar, retorna F
(False). Para isso, vamos precisar entender como os números naturais são definidos na notação de Peano e como criar funções recursivas nessa estrutura.Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a notação de Peano para os números naturais. Na definição de Peano:
- 0 é um número natural.
- Se n é um número natural, então seu sucessor, denotado por S(n), também é um número natural.
Assim, os números ficam assim: 0, S(0)=1, S(S(0))=2, S(S(S(0)))=3, e assim por diante.
Passo 3
Agora, para determinar se um número é par, vamos criar uma função
even
que verifica isso de forma recursiva. A ideia é a seguinte:- Caso Base: O número 0 é par, então
even(0) = T
. - Passo Recursivo: Para qualquer número n, se
even(n) = T
, entãoeven(S(n)) = F
(pois o sucessor de um número par é ímpar). E seeven(n) = F
, entãoeven(S(n)) = T
(pois o sucessor de um número ímpar é par).
Passo 4
Vamos formalizar isso com a definição da função
even
:Aqui,
\neg
representa a negação lógica. Isso significa que para cada sucessor, a paridade é invertida.Passo 5
Vamos ver alguns exemplos para esclarecer:
- even(0): Pelo caso base, é
T
. - even(S(0)) = even(1): Como
even(0) = T
, entãoeven(1) = \neg T = F
. - even(S(1)) = even(2): Como
even(1) = F
, entãoeven(2) = \neg F = T
. - even(S(2)) = even(3): Como
even(2) = T
, entãoeven(3) = \neg T = F
.
E assim por diante. Isso confirma que a função está funcionando como esperamos para determinar a paridade.
Resposta
A função
even
na notação de Peano é definida recursivamente da seguinte forma:Essa definição retorna
T
quando o número é par e F
quando é ímpar.