Considerando o conjunto de números naturais na notação de Peano (Definição 2), desenvolva as seguintes operações:
Desenvolva uma função para realizar a multiplicação de dois números naturais. Dica: Use a função de adição.
Desenvolva uma função para realizar a multiplicação de dois números naturais. Dica: Use a função de adição.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente trabalhar com os números naturais usando a notação de Peano. O que isso significa? Basicamente, é uma forma de construir os números naturais (0, 1, 2, 3, …) a partir de um ponto de partida, usando um processo de “sucessão”. O que a gente precisa fazer aqui é criar uma função que multiplica dois números naturais, e a dica é usarmos a função de adição para isso. Então, vamos descomplicar e entender como fazer essa multiplicação passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como a adição funciona na notação de Peano. Basicamente, para adicionar dois números, você começa com um número e adiciona o “sucessor” dele repetidamente. Por exemplo, para adicionar 2 e 3, você começa com 2 e adiciona o sucessor de 2 três vezes:
Onde $ S(n) $ representa o sucessor de $ n $, ou seja, $ n + 1 $.
Passo 3
Agora, para multiplicar dois números, digamos $ a $ e $ b $, na notação de Peano, podemos pensar nisso como somar $ a $ consigo mesmo $ b $ vezes. Em outras palavras:
Mas para formalizar isso, precisamos definir a multiplicação de forma recursiva usando a adição.
Passo 4
Vamos definir a função de multiplicação $ \times(a, b) $ da seguinte maneira:
- Se $ b = 0 $, então $ a \times b = 0 $.
- Se $ b $ não é zero, então $ a \times b = a + (a \times S(b)) $, onde $ S(b) $ é o sucessor de $ b $.
Essa definição basicamente diz que multiplicar $ a $ por $ b $ é o mesmo que adicionar $ a $ ao resultado da multiplicação de $ a $ por $ b $ anterior.
Passo 5
Vamos traduzir isso em uma função matemática usando a notação de Peano:
Aqui, $ S(b) $ significa o sucessor de $ b $, ou seja, $ b + 1 $. Essa definição é recursiva porque a multiplicação depende de uma multiplicação anterior com um número menor.
Passo 6
Para visualizar melhor, vamos ver um exemplo prático. Vamos multiplicar 2 por 3 usando nossa definição:
- $ 2 \times 3 = 2 + (2 \times 2) $
- $ 2 \times 2 = 2 + (2 \times 1) $
- $ 2 \times 1 = 2 + (2 \times 0) $
- $ 2 \times 0 = 0 $
Agora substituindo de volta:
3. $ 2 \times 1 = 2 + 0 = 2 $
2. $ 2 \times 2 = 2 + 2 = 4 $
3. $ 2 \times 1 = 2 + 0 = 2 $
2. $ 2 \times 2 = 2 + 2 = 4 $
- $ 2 \times 3 = 2 + 4 = 6 $
Então, $ 2 \times 3 = 6 $, que é o resultado esperado!
Resposta
A função de multiplicação de dois números naturais na notação de Peano é definida recursivamente por: