Considerando a função de onda radial R20 correspondente ao estado quântico com n=2 e l=0 determine o valor da energia E correspondente ao estado quântico com
d^2 Rd r^2+2r d Rd r+2 muhbar^2(E+e^24 pi epsilon0 r) R=0
n ell Rn ell(r)
1 0 2(a0)^3 / 2 e^-r / a0
2 0 (2-ra0) e^-r / 2 a0(2 a0)^3 / 2
2 1 ra0 e^-r / 2 a0raiz3(2 a0)^3 / 2
3 0 1(a0)^3 / 2 281 raiz3(27-18 ra0+2 r^2a0 ^2) e^-r / 3 a0
3 1 1(a0)^3 / 2 481 raiz6(6-ra0) ra0 e^-r / 3 a0
3 2 1(a0)^3 / 2 481 raiz30 r^2a0^2 e^-r / 3 a0

Passo 1

Vamos lá! Você me pediu para encontrar a energia do estado quântico com e usando a função de onda radial que foi fornecida. Isso está relacionado à mecânica quântica, especificamente ao modelo do átomo de hidrogênio. Para resolver isso, vamos usar a equação de Schrödinger radial fornecida no enunciado e a função de onda correspondente.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a equação de Schrödinger radial dada:
d^2 Rd r^2 + 2r d Rd r + 2 muhbar^2(E + e^24 pi epsilon0 r) R = 0
Aqui, é a função de onda radial, é a massa reduzida do elétron, é a constante de Planck reduzida, é a carga do elétron, e é a permissividade do vácuo. Nosso objetivo é encontrar o valor de que satisfaz essa equação para a função fornecida.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas necessárias da função de onda R20(r) = (2 - ra0) e^-r / 2 a0(2 a0)^3 / 2 :
d R20d r = dd r [ (2 - ra0) e^-r / 2 a0 ] cdot 1(2 a0)^3 / 2
Primeiro, calculamos a primeira derivada d R20d r = ( -1a0 e^-r / 2 a0 + (2 - ra0) (-12 a0) e^-r / 2 a0 ) cdot 1(2 a0)^3 / 2 :
d R20d r = ( -1a0 + r2 a0^2 - 22 a0 ) e^-r / 2 a0 cdot 1(2 a0)^3 / 2
Aplicando a regra do produto:
d^2 R20d r^2 = dd r ( d R20d r )
Simplificando:
Agora, a segunda derivada :
Isso envolverá derivar novamente, seguindo os mesmos passos de regra do produto e simplificação.

Passo 4

Com as derivadas calculadas, substituímos d^2 R20d r^2 + 2r d R20d r + 2 muhbar^2(E + e^24 pi epsilon0 r) R20 = 0 , e na equação de Schrödinger radial:
Depois de substituir, simplificamos a equação. Muitas das expressões vão se cancelar ou combinar de forma que consigamos isolar .

Passo 5

Após simplificar a equação, isolamos E = -mu e^42 (4 pi epsilon0)^2 hbar^2 1n^2 :
E = -mu e^42 (4 pi epsilon0)^2 hbar^2 14 = -mu e^48 (4 pi epsilon0)^2 hbar^2
Para :
Esse valor é conhecido como o nível de energia do átomo de hidrogênio para a camada .

Resposta

A energia E = -3,4 , eV correspondente ao estado quântico com e é:

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