Considerando a função de onda radial
correspondente ao estado quântico com
e
determine o valor da energia E correspondente ao estado quântico com
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1 | 0 |
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2 | 0 |
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2 | 1 |
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3 | 1 |
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3 | 2 |
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Passo 1
Vamos lá! Você me pediu para encontrar a energia
do estado quântico com
e
usando a função de onda radial
que foi fornecida. Isso está relacionado à mecânica quântica, especificamente ao modelo do átomo de hidrogênio. Para resolver isso, vamos usar a equação de Schrödinger radial fornecida no enunciado e a função de onda correspondente.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender a equação de Schrödinger radial dada:
Aqui,
é a função de onda radial,
é a massa reduzida do elétron,
é a constante de Planck reduzida,
é a carga do elétron, e
é a permissividade do vácuo. Nosso objetivo é encontrar o valor de
que satisfaz essa equação para a função
fornecida.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas necessárias da função de onda
:
Primeiro, calculamos a primeira derivada
:
Aplicando a regra do produto:
Simplificando:
Agora, a segunda derivada
:
Isso envolverá derivar novamente, seguindo os mesmos passos de regra do produto e simplificação.
Passo 4
Com as derivadas calculadas, substituímos
,
e
na equação de Schrödinger radial:
Depois de substituir, simplificamos a equação. Muitas das expressões vão se cancelar ou combinar de forma que consigamos isolar
.
Passo 5
Após simplificar a equação, isolamos
:
Para
:
Esse valor é conhecido como o nível de energia do átomo de hidrogênio para a camada
.
Resposta
A energia
correspondente ao estado quântico com
e
é: