4^{\mathrm{a}} QUESTÃO ( \mathbf{2 , 5} pontos)

Água líquida saturada a 80 kPa , entra em uma bomba adiabática e é descarregada a uma pressão de 6800 kPa . Suponha que a eficiência da bomba seja de 0,8 e calcule o trabalho da bomba, a variação da temperatura da água e a variação da entropia da água.
Para água liquida saturada a 80 kPa considerar C_{P} e \beta constantes e igual a:
\begin{gathered} \beta=438 \cdot 10^{-6} \mathrm{~K}^{-1} \quad C_{P}=4,5 \frac{\mathrm{~kJ}}{\mathrm{~kg} \cdot \mathrm{~K}} \\\ * \text { Critérios de Convergência: } \\\ \left|P_{i+1}-P_{i}\right|<0,1 \text { bar } \\\ \left|T_{i+1}-T_{i}\right|<1 \mathrm{~K} \end{gathered}éê

Passo 1

O enunciado pede que, para água líquida saturada a 80\\ \mathrm{kPa} que entra numa bomba adiabática e é descarregada a 6800\\ \mathrm{kPa}, com eficiência da bomba \eta=0,8, se calcule:
  1. O trabalho específico da bomba (energia fornecida por kg de água).
  2. A variação da temperatura da água \Delta T.
  3. A variação da entropia da água \Delta s.
Dados fornecidos e assumidos explicitamente:
  • Pressão de entrada: P_1 = 80\\ \mathrm{kPa}.
  • Pressão de saída: P_2 = 6800\\ \mathrm{kPa}.
  • Eficiência da bomba: \eta = 0,8.
  • Para a água líquida saturada em P_1 considerar \beta = 438\times10^{-6}\\ \mathrm{K^{-1}} e C_p = 4{,}5\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} constantes.
  • Usarei, como aproximação usual para líquido quase incompressível, o volume específico típico da água líquida: v \approx 0{,}001\\ \mathrm{m^3/kg}. (Justifico esta escolha adiante.)
  • Temperatura de saturação em P_1: tomo a temperatura de saturação correspondente a 80\\ \mathrm{kPa}. Usando a equação de Antoine (ou uma tabela de vapor saturado) obtém-se aproximadamente T_1 \approx 366{,}65\\ \mathrm{K} (ou 93{,}5^\circ\mathrm{C}). Vou usar este valor nas contas.
Critérios de convergência do enunciado foram fornecidos, mas com as aproximações constantes para C_p e \beta não será necessário iterar: existe solução analítica simples.

Passo 2

Escolha do método (explicação do porquê):
  • Para líquidos praticamente incompressíveis, o trabalho isentrópico teórico da bomba por unidade de massa é bem aproximado por \;w_s = v\,(P_2-P_1)\; (essa é a expressão usada em livros de termodinâmica para compressão de líquido com v praticamente constante).
  • A eficiência da bomba relaciona o trabalho isentrópico teórico com o trabalho real fornecido: \displaystyle \eta = \frac{w_s}{w_{\text{real}}}. Para bombas (dispositivos que recebem trabalho), essa definição é usual: o trabalho real é maior que o isentrópico dividido por \eta.
  • A variação de temperatura real pode ser obtida diretamente pela 1ª lei para escoamento estacionário e processo adiabático, desprezando energia cinética/potencial: o trabalho específico fornecido à massa aparece como variação de entalpia: \;w_{\text{real}} = h_2-h_1 \approx C_p\,(T_2-T_1)\; (para líquido com C_p constante).
  • A variação de entropia pode ser obtida a partir da relação diferencial dh = T\,ds + v\,dP. Integrando e reorganizando, para o processo real adiabático: \Delta s = s_2-s_1 \approx \frac{\Delta h - \int_{P_1}^{P_2} v\,dP}{T_{\text{m}}}e, com v aproximadamente constante, \int v\,dP = v\,(P_2-P_1) = w_s. Como \Delta h = w_{\text{real}}, temos a expressão simples \Delta s \approx \frac{w_{\text{real}}-w_s}{T_{\text{m}}},onde T_{\text{m}} é uma temperatura média adequada (aprox. média aritmética de T_1 e T_2 é suficiente aqui).
  • Para estimar a temperatura isentrópica final (apenas como comparação pedagógico), usei a relação que vem de ds=0 e da identidade termodinâmica \;C_p\,dT = v\,T\,\beta\,dP\;, que integra para \ln(T_2/T_1) = (v\beta/C_p)(P_2-P_1).
Resumo: método prático e usual para bombas de líquidos incompressíveis — calcular w_s, obter w_{\text{real}}=w_s/\eta, obter \Delta T por \Delta h = C_p\Delta T e \Delta s por \Delta s=(w_{\text{real}}-w_s)/T_{\text{m}}.

Passo 3

Calcular a diferença de pressão e convertê‑la para unidades SI (Pascal), e definir v.
  • Diferença de pressão:
    \Delta P = P_2 - P_1 = 6800\\ \mathrm{kPa} - 80\\ \mathrm{kPa} = 6720\\ \mathrm{kPa}.
    Converter para Pascal:
    \Delta P = 6720\\ \mathrm{kPa} = 6720\times10^3\\ \mathrm{Pa} = 6{,}72\times10^6\\ \mathrm{Pa}.
  • Volume específico aproximado: tomo
    v = 0{,}001\\ \mathrm{m^3/kg},
    valor típico para água líquida saturada e suficiente para este cálculo (a variação resultante é pouco sensível a pequenas variações de v neste caso).

Passo 4

Calcular o trabalho isentrópico teórico w_s (em kJ/kg):
  • Fórmula: w_s = v\,\Delta P.
  • Cálculo (unidades): w_s = 0{,}001\\ \mathrm{m^3/kg}\times 6{,}72\times10^6\\ \mathrm{Pa} = 6{,}72\times10^3\\ \mathrm{J/kg} = 6{,}72\\ \mathrm{kJ/kg}.
Portanto \;w_s = 6{,}72\\ \mathrm{kJ/kg}.

Passo 5

Calcular o trabalho real fornecido pela bomba w_{\text{real}} usando a eficiência \eta.
  • Definição de eficiência para bomba:
    \eta = \frac{w_s}{w_{\text{real}}} \quad\Longrightarrow\quad w_{\text{real}} = \frac{w_s}{\eta}.
  • Cálculo:
    w_{\text{real}} = \frac{6{,}72\\ \mathrm{kJ/kg}}{0{,}8} = 8{,}40\\ \mathrm{kJ/kg}.
Portanto o trabalho que a bomba realmente fornece (por kg de água) é \;w_{\text{real}} = 8{,}40\\ \mathrm{kJ/kg}.

Passo 6

Calcular a variação de temperatura real \Delta T = T_2 - T_1 usando \Delta h = C_p\,\Delta T e \Delta h = w_{\text{real}}.
  • Como adotamos C_p = 4{,}5\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}:
    \Delta T = \frac{w_{\text{real}}}{C_p}.
  • Cálculo:
    \Delta T = \frac{8{,}40\\ \mathrm{kJ/kg}}{4{,}5\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}} = 1{,}866\ldots\\ \mathrm{K}.
Arredondando razoavelmente: \Delta T \approx 1{,}87\\ \mathrm{K}.
Observação pedagógica: se fôssemos calcular a elevação de temperatura num processo isentrópico usando a relação C_p\,dT = v\,T\,\beta\,dP, obteríamos uma elevação muito menor (ordem de décimos de K) — isso mostra que o aumento de temperatura real é dominado pela energia dissipada (ineficiência), não pela compressão isentrópica do líquido.

Passo 7

Cálculo ilustrativo da temperatura isentrópica final T_{2,s} (apenas para comparação):
  • Integração de \displaystyle \frac{dT}{T} = \frac{v\beta}{C_p}\,dP (com v,\beta,C_p constantes) dá \ln\frac{T_{2,s}}{T_1} = \frac{v\beta}{C_p}\,\Delta P.
  • Calcular o lado direito: \frac{v\beta}{C_p}\,\Delta P = \frac{0{,}001\cdot(438\times10^{-6})}{4{,}5}\times(6{,}72\times10^6) \approx 6{,}54\times10^{-4}.
  • Assim T_{2,s} = T_1\exp(6{,}54\times10^{-4}) \approx T_1(1+6{,}54\times10^{-4}).
  • Com T_1 = 366{,}65\\ \mathrm{K} obtemos \;T_{2,s}\approx 366{,}65 + 0{,}24 = 366{,}89\\ \mathrm{K}, ou aumento isentrópico \approx 0{,}24\\ \mathrm{K}.
Conclusão: elevação isentrópica muito pequena; a elevação observada no ponto anterior ( \approx 1{,}87\\ \mathrm{K}) é maior por causa da ineficiência da bomba.

Passo 8

Calcular a variação de entropia \Delta s.
  • Partindo de dh = T\,ds + v\,dP, integrando entre entrada e saída:
    \Delta s = \frac{\Delta h - \int_{P_1}^{P_2} v\,dP}{T_{\text{m}}}
    onde tomo \int v\,dP \approx v\,(P_2-P_1) = w_s (com v constante) e \Delta h = w_{\text{real}}.
  • Assim:
    \Delta s \approx \frac{w_{\text{real}} - w_s}{T_{\text{m}}}.
  • Escolho uma temperatura média T_{\text{m}} como a média aritmética:
    T_{\text{m}} \approx \frac{T_1 + T_2}{2} = \frac{366{,}65\\ \mathrm{K} + (366{,}65 + 1{,}866)\\ \mathrm{K}}{2} = \frac{366{,}65 + 368{,}516}{2} \approx 367{,}58\\ \mathrm{K}.
  • Diferença de trabalhos:
    w_{\text{real}} - w_s = 8{,}40 - 6{,}72 = 1{,}68\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • Então
    \Delta s \approx \frac{1{,}68\\ \mathrm{kJ/kg}}{367{,}58\\ \mathrm{K}} = 4{,}57\times10^{-3}\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
Em unidades mais comuns: \Delta s \approx 0{,}00457\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} = 4{,}57\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
Comentário: o sinal positivo indica aumento de entropia (irreversibilidade da bomba).

Passo 9

Verificação rápida de consistência e resumo dos valores calculados (antes da resposta final):
  • w_s = 6{,}72\\ \mathrm{kJ/kg} (isentrópico teórico).
  • w_{\text{real}} = 8{,}40\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • \Delta T \approx 1{,}87\\ \mathrm{K}.
  • \Delta s \approx 0{,}00457\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
Todos os passos usam aproximações típicas para líquidos quase incompressíveis; pequenas mudanças em v ou em T_1 não alterariam muito os resultados, porque o trabalho é dominado por v\Delta P e a elevação de temperatura é pequena (ordem de poucos K).

Resposta

w_{\text{bomba}} = 8{,}40\\ \mathrm{kJ/kg}
\Delta T = 1{,}87\\ \mathrm{K}
\Delta s = 0{,}00457\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}

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