3^{\mathrm{a}} QUESTÃO ( \mathbf{2 , 5} pontos)

Uma corrente de 200 \mathrm{~kg} / \mathrm{s} de vapor d’água úmido com qualidade 0,75 a 7800 kPa é estrangulada para 500 kPa . Determine a temperatura da corrente após o estrangulamento, a quantidade de líquido que é vaporizada por segundo no processo e a variação de entropia.

Passo 1

O enunciado dá uma corrente de vapor d’água úmido com as seguintes informações:
  • Vazão mássica: \dot{m}=200\\ \mathrm{kg/s}.
  • Pressão inicial: p_1=7800\\ \mathrm{kPa}.
  • Qualidade (fração mássica de vapor) inicial: x_1=0{,}75.
  • A corrente sofre um estrangulamento até a pressão final p_2=500\\ \mathrm{kPa}.
As perguntas são:
  1. Determinar a temperatura da corrente após o estrangulamento.
  2. Determinar a quantidade de líquido que é vaporizada por segundo no processo (ou seja, a vazão mássica do líquido que passa a vapor por efeito do estrangulamento).
  3. Determinar a variação de entropia (interpreto como a variação de entropia da corrente por segundo, \dot{S}= \dot{m}(s_2-s_1)).
Informações que vamos usar (tiradas das tabelas de vapor saturado padrão):
  • Propriedades saturadas em p_1=7800\\ \mathrm{kPa}: \,T_{sat,1},\,h_{f1},\,h_{g1},\,s_{f1},\,s_{g1}.
  • Propriedades saturadas em p_2=500\\ \mathrm{kPa}: \,T_{sat,2},\,h_{f2},\,h_{g2},\,s_{f2},\,s_{g2}.
(Obs.: os valores numéricos das propriedades saturadas serão mostrados no passo seguinte e explicitarei que os peguei nas tabelas.)

Passo 2

Princípio físico e fórmulas que usaremos (explicação didática):
  • Um estrangulamento (válvula de expansão, orifício) é normalmente tratado como um processo de escoamento estacionário, adiabático e sem trabalho de eixo. Para esse processo, a propriedade que se conserva (na aproximação usual) é a entalpia específica:
h_1 = h_2.
Isto significa que a entalpia por unidade de massa antes e depois do estrangulamento é a mesma.
  • Para uma mistura saturada (vapor + líquido) na pressão p, a entalpia específica é dada por:
h = h_f + x\,h_{fg},
onde
  • h_f é a entalpia específica do líquido saturado (por exemplo, água líquida saturada),
  • h_g é a entalpia específica do vapor saturado,
  • h_{fg}=h_g-h_f é a entalpia latente de vaporização àquela pressão,
  • x é a qualidade (fração mássica de vapor).
  • De modo análogo, a entropia específica da mistura é:
s = s_f + x\,s_{fg},
onde s_f e s_g são as entropias específicas do líquido e do vapor saturado respectivamente, e s_{fg}=s_g-s_f.
  • Para encontrar a nova qualidade x_2 após estrangulamento usamos a conservação de entalpia:
h_1 = h_2 = h_{f2} + x_2\,h_{fg2}
portanto
x_2 = \frac{h_1 - h_{f2}}{h_{fg2}}.
  • A quantidade de líquido vaporizada por segundo (vazão mássica vaporizada) é a variação de fração de vapor multiplicada pela vazão mássica total:
\dot{m}_{vap} = \dot{m}\,(x_2 - x_1),
se x_2>x_1. Se x_2\le x_1, não há vaporização (podemos ter condensação).
  • A variação de entropia por segundo da corrente é:
\dot{S} = \dot{m}\,(s_2 - s_1).
Vou agora aplicar essas fórmulas usando valores das tabelas de vapor saturado.

Passo 3

Pegando os dados nas tabelas de vapor saturado (valores padronizados; eu os extraí das tabelas de água saturada):
Para p_1=7800\\ \mathrm{kPa} (7,8 MPa):
\begin{aligned} T_{sat,1} &\approx 295{,}0^\circ\mathrm{C},\\\ h_{f1} &\approx 1084{,}6\\ \mathrm{kJ/kg},\\\ h_{g1} &\approx 2776{,}1\\ \mathrm{kJ/kg},\\\ s_{f1} &\approx 2{,}450\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)},\\\ s_{g1} &\approx 5{,}789\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}. \end{aligned}
Logo
h_{fg1}=h_{g1}-h_{f1}\approx 2776{,}1-1084{,}6=1691{,}5\\ \mathrm{kJ/kg},
s_{fg1}=s_{g1}-s_{f1}\approx 5{,}789-2{,}450=3{,}339\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
Para p_2=500\\ \mathrm{kPa} (0,5 MPa):
\begin{aligned} T_{sat,2} &\approx 151{,}83^\circ\mathrm{C},\\\ h_{f2} &\approx 640{,}09\\ \mathrm{kJ/kg},\\\ h_{g2} &\approx 2748{,}7\\ \mathrm{kJ/kg},\\\ s_{f2} &\approx 1{,}091\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)},\\\ s_{g2} &\approx 7{,}359\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}. \end{aligned}
Logo
h_{fg2}=h_{g2}-h_{f2}\approx 2748{,}7-640{,}09=2108{,}61\\ \mathrm{kJ/kg},
s_{fg2}=s_{g2}-s_{f2}\approx 7{,}359-1{,}091=6{,}268\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
(Obs.: os números acima foram lidos das tabelas de vapor saturado padrão; pequenas diferenças de última casa decimal podem ocorrer dependendo da tabela usada.)

Passo 4

Calcular a entalpia específica inicial h_1 da mistura usando x_1=0{,}75:
\begin{aligned} h_1 &= h_{f1} + x_1\,h_{fg1} \\\ &= 1084{,}6 + 0{,}75\times 1691{,}5 \\\ &= 1084{,}6 + 1268{,}625 \\\ &\approx 2353{,}225\\ \mathrm{kJ/kg}. \end{aligned}
Pela conservação de entalpia no estrangulamento, h_2=h_1=2353{,}225\\ \mathrm{kJ/kg}.

Passo 5

Determinar a qualidade após o estrangulamento x_2 usando as propriedades à pressão p_2:
\begin{aligned} x_2 &= \frac{h_1 - h_{f2}}{h_{fg2}} \\\ &= \frac{2353{,}225 - 640{,}09}{2108{,}61} \\\ &= \frac{1713{,}135}{2108{,}61} \\\ &\approx 0{,}8126. \end{aligned}
Como x_2\approx 0{,}8126 > x_1=0{,}75, houve vaporização adicional do líquido no estrangulamento.

Passo 6

A temperatura da corrente após o estrangulamento é a temperatura de saturação correspondente a p_2 (pois o vapor resultante é uma mistura saturada), logo:
T_2 = T_{sat,2} \approx 151{,}83^\circ\mathrm{C}.

Passo 7

Calcular a quantidade de líquido vaporizada por segundo:
\begin{aligned} \dot{m}_{vap} &= \dot{m}\,(x_2 - x_1) \\\ &= 200\,(0{,}8126 - 0{,}75) \\\ &= 200\times 0{,}0626 \\\ &\approx 12{,}52\\ \mathrm{kg/s}. \end{aligned}
Interpretação: cerca de 12{,}5\\ \mathrm{kg} de líquido se transforma em vapor a cada segundo devido ao estrangulamento.

Passo 8

Calcular a variação de entropia (taxa) \dot{S}=\dot{m}(s_2-s_1).
Primeiro as entropias específicas:
\begin{aligned} s_1 &= s_{f1} + x_1\,s_{fg1} \\\ &= 2{,}450 + 0{,}75\times 3{,}339 \\\ &= 2{,}450 + 2{,}50425 \\\ &\approx 4{,}95425\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}. \end{aligned}
\begin{aligned} s_2 &= s_{f2} + x_2\,s_{fg2} \\\ &= 1{,}091 + 0{,}8126\times 6{,}268 \\\ &= 1{,}091 + 5{,}093 \\\ &\approx 6{,}184\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}. \end{aligned}
Agora a taxa de variação de entropia:
\begin{aligned} \dot{S} &= \dot{m}\,(s_2 - s_1) \\\ &= 200\,(6{,}184 - 4{,}95425) \\\ &= 200\times 1{,}22975 \\\ &\approx 245{,}95\\ \mathrm{kJ/(s\cdot K)}. \end{aligned}
Unidade: \mathrm{kJ/(s\cdot K)} que também pode ser lida como \mathrm{kW/K}. A variação de entropia é positiva (processo irreversível), como esperado para um estrangulamento.

Passo 9

Arredondando resultados para números com sentido prático e recapitulando:
  • Temperatura final T_2 \approx 151{,}83^\circ\mathrm{C}.
  • Vazão mássica de líquido vaporizada \dot{m}_{vap} \approx 12{,}5\\ \mathrm{kg/s}.
  • Variação de entropia da corrente por segundo \dot{S} \approx 246{,}0\\ \mathrm{kJ/(s\cdot K)}.

Resposta

T_2 \approx 151{,}83^\circ\mathrm{C}
\dot{m}_{vap} \approx 12{,}5\\ \mathrm{kg/s}
\dot{S} \approx 246{,}0\\ \mathrm{kJ/(s\cdot K)}

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