Considerando a mesma dinâmica de período curto do A310 do ponto 9, calcule de forma analítica a matriz de ganhos K utilizando Regulador Linear Quadrático com realimentação de estados. Para as matrizes Q e R aplique a regra de Bryson considerando máximo módulo de ângulo de ataque de 5^{\circ}, máximo módulo de taxa de arfagem de 10^{\circ} / \mathrm{s} e máximo módulo da deflexão do profundor de $15^{\circ}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular, de forma analítica, a matriz de ganhos K de um Regulador Linear Quadrático (LQR) com realimentação de estados para a dinâmica de período curto do A310 referida no “ponto 9”. O enunciado fornece as restrições máximas (para aplicar a regra de Bryson): \pm 5^\circ para ângulo de ataque, \pm 10^\circ/\mathrm{s} para taxa de arfagem e \pm 15^\circ para a deflexão do profundor. Não foram fornecidas explicitamente as matrizes do sistema \,A e \,B do ponto 9.
Informações relevantes dadas:
\text{máximo de }|\alpha| = 5^\circ,\qquad \text{máximo de }|q| = 10^\circ/\mathrm{s},\qquad \text{máximo de }|\delta_e| = 15^\circ.ááá
Pergunta a resolver: calcular analiticamente a matriz de ganho K do LQR para a dinâmica curta mencionada, usando a regra de Bryson para escolher Q e R.
Observação importante: a resolução numérica final de K exige as matrizes \,A e \,B. Essas matrizes não foram fornecidas no enunciado que você me mandou; portanto não é possível obter um valor numérico final para K sem elas. A partir daqui vou:
  • mostrar passo a passo como construir Q e R via Bryson (com conversão para radianos),
  • expor a equação de Riccati e demonstrar como resolver analiticamente (estrutura e sistema resultante para o caso de dois estados),
  • dar o procedimento completo que você deve aplicar assim que tiver \,A e \,B.

Passo 2

Conceito da regra de Bryson e conversão de unidades (aulas rápidas e práticas).
  • A regra de Bryson diz que devemos escolher matrizes peso Q (sobre estados) e R (sobre controles) diagonal de modo que cada elemento seja o inverso do quadrado do máximo permitido da variável correspondente. A ideia é normalizar as penalizações para que atingir o limite máximo seja igualmente penalizado.
  • É essencial usar as mesmas unidades que o modelo. Como as matrizes dinâmicas costumam usar radianos, convertamos os ângulos em radianos: 5^\circ = \frac{5\pi}{180} = \frac{\pi}{36},\qquad 10^\circ/\mathrm{s} = \frac{10\pi}{180} = \frac{\pi}{18},\qquad 15^\circ = \frac{15\pi}{180} = \frac{\pi}{12}.
  • Explicando de modo bem didático: se um estado \,x_i tem máximo permitido \,x_{i,\max}, colocamos Q_{ii} = 1 / x_{i,\max}^2. Para o controle escalar \,u com máximo \,u_{\max}, colocamos R = 1/u_{\max}^2.

Passo 3

Aplicando Bryson aos valores dados (cálculos exatos em termos de \pi e aproximações numéricas):
  • Para o ângulo de ataque \alpha (assumo que é um estado): \alpha_{\max} = \pi/36. Então Q_{\alpha\alpha} = \frac{1}{(\pi/36)^2} = \frac{36^2}{\pi^2} = \frac{1296}{\pi^2}\approx 131{,}34.
  • Para a taxa de arfagem q: q_{\max}=\pi/18. Então Q_{qq} = \frac{1}{(\pi/18)^2} = \frac{18^2}{\pi^2} = \frac{324}{\pi^2}\approx 32{,}84.
  • Para a deflexão do profundor \delta_e (controle): \delta_{e,\max}=\pi/12. Então R = \frac{1}{(\pi/12)^2} = \frac{12^2}{\pi^2} = \frac{144}{\pi^2}\approx 14{,}59.
Se o vetor de estados for \,x = [\alpha\;\; q]^T (modelo curto típico), então escolhemos
Q = \begin{pmatrix}\dfrac{1296}{\pi^2} & 0\\[6pt] 0 & \dfrac{324}{\pi^2}\end{pmatrix}, \qquad R = \dfrac{144}{\pi^2}.
Comentário amistoso: esses valores são dimensionados para que atingir o limite máximo de cada grandeza seja penalizado com peso unitário (em termos normalizados) no custo do LQR.]

Passo 4

Apresentando a teoria do LQR contínuo e a equação algébrica de Riccati (passo-a-passo didático).
  • Modelo de estados (assumido linear, tempo-invariante): \dot{x} = A x + B u,onde x\in\mathbb{R}^n é vetor de estados, u\in\mathbb{R}^m é vetor de entradas, A e B são matrizes conhecidas do sistema.
  • Custo LQR (custo infinito-horizonte): J = \int_{0}^{\infty} \left(x^\top Q x + u^\top R u\right)\,dt,com Q=Q^\top\succeq 0 e R=R^\top\succ 0.
  • A solução ótima em realimentação de estado é u = -K x,com K = R^{-1} B^\top P,onde P=P^\top\succeq 0 é a solução simétrica da Equação Algébrica de Riccati (ARE): A^\top P + P A - P B R^{-1} B^\top P + Q = 0.
  • Explicando: P é a matriz que representa o “valor” quadrático ótimo; a equação é uma equação matricial não-linear (devido ao termo quadrático em P).

Passo 5

Como resolver analiticamente a ARE para o caso de dois estados (detalhe passo a passo).
  • Assuma o caso típico do curto-período com n=2\) e \(m=1\). Denotemos \[A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\[4pt] a_{21} & a_{22} \end{pmatrix},\qquad B = \begin{pmatrix} b_1 \\[4pt] b_2 \end{pmatrix},e Q e R já especificados no Passo 3.
  • Procure uma P simétrica P = \begin{pmatrix} p_{11} & p_{12} \\[4pt] p_{12} & p_{22} \end{pmatrix}.
  • Calcule termo a termo (mostro como expandir; siga com calma):
    1. A^\top P é A^\top P = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{21} \\[4pt] a_{12} & a_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} p_{11} & p_{12} \\[4pt] p_{12} & p_{22} \end{pmatrix}.
    2. P A é P A = \begin{pmatrix} p_{11} & p_{12} \\[4pt] p_{12} & p_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\[4pt] a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}.
    3. P B R^{-1} B^\top P é escalarmente mais trabalhosa; primeiro B R^{-1} B^\top = \frac{1}{R} \begin{pmatrix} b_1^2 & b_1 b_2 \\[4pt] b_1 b_2 & b_2^2 \end{pmatrix},então P B R^{-1} B^\top P = \frac{1}{R} P \begin{pmatrix} b_1^2 & b_1 b_2 \\[4pt] b_1 b_2 & b_2^2 \end{pmatrix} P.
  • Substituindo na ARE você obtém uma matriz 2\times2 igual à matriz zero. Isso gera um sistema de três equações escalares (pois a matriz é simétrica) para as incógnitas p_{11}, p_{12}, p_{22}. Escrevendo as três equações explicitamente (a forma genérica): \begin{cases} (A^\top P + P A - P B R^{-1} B^\top P + Q)_{11} = 0,\\[4pt] (A^\top P + P A - P B R^{-1} B^\top P + Q)_{12} = 0,\\[4pt] (A^\top P + P A - P B R^{-1} B^\top P + Q)_{22} = 0. \end{cases}Cada uma dessas é uma equação polinomial (até de grau quadrático nos p_{ij}\] devido ao termo \(P B R^{-1} B^\top P).
  • Comentário prático: para n=2 esse sistema pode ser resolvido simbolicamente (isolando por exemplo p_{11} ou p_{22} e reduzindo a um polinômio), mas as expressões ficam extensas. A derivação completa é mecânica: expanda as multiplicações matriciais, agrupe termos em p_{11}, p_{12}, p_{22} e resolva o sistema de três equações não-lineares. Depois de achar P, calcule K = R^{-1} B^\top P = \frac{1}{R}\begin{pmatrix} b_1 & b_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} p_{11} & p_{12} \\[4pt] p_{12} & p_{22} \end{pmatrix} = \frac{1}{R} \begin{pmatrix} b_1 p_{11} + b_2 p_{12} & b_1 p_{12} + b_2 p_{22} \end{pmatrix}.
  • Dica simplificada (método alternativo analítico): usar a matriz Hamiltoniana H = \begin{pmatrix} A & -B R^{-1} B^\top \\[4pt] -Q & -A^\top \end{pmatrix},e encontrar sua subespaço próprio associado ao semiplano esquerdo (autovalores com parte real negativa). Decompõe-se o subespaço estável em blocos e extrai-se P como P = X_2 X_1^{-1} (procedimento padrão em teoria de Riccati). Esse é um método “analítico” que reduz o problema a encontrar autovetores/autovalores do Hamiltoniano; ainda assim, sem números em A,B fica simbólico.]

Passo 6

Procedimento completo, passo a passo, que você deve aplicar quando tiver \,A e \,B do ponto 9 (guia prático que funciona na prova):
  1. Verifique unidade e estruturas (estados em radianos, entradas em radianos).
  2. Montar Q e R pela regra de Bryson (valores do Passo 3): Q = \begin{pmatrix}\dfrac{1296}{\pi^2} & 0\\[6pt] 0 & \dfrac{324}{\pi^2}\end{pmatrix},\qquad R=\dfrac{144}{\pi^2}.
  3. Escreva a ARE: A^\top P + P A - P B R^{-1} B^\top P + Q = 0.
  4. Se n=2 e m=1, coloque P com as incógnitas p_{11},p_{12},p_{22}, expanda as multiplicações e obtenha as três equações escalares. Resolva o sistema (algebricamente ou usando fatoração que reduza a um polinômio).
  5. Se preferir, construa o Hamiltoniano H, calcule autovalores e autovetores, selecione os n autovetores com parte real negativa e recupere P por P = X_2 X_1^{-1} (método linear que evita resolver sistema polinomial diretamente).
  6. Finalmente calcule K = R^{-1} B^\top P.
  7. Verifique estabilidade: as matrizes A-BK devem ter autovalores com parte real negativa; se isso não ocorrer, reveja Q e R.]

Passo 7

Exemplos e utilidades práticas rápidas (para sua confiança na prova):
  • Se o professor der A e B numéricos, faça exatamente os passos do Passo 6. Para n=2 você consegue resolver analiticamente (sem calculadora) se os coeficientes forem racionais/pequenos; caso contrário, use um procedimento algébrico com números exatos (frações/valores em \pi quando aparecerem) ou uma calculadora/algo de álgebra simbólica.
  • Mesmo que peça “analítico”, é aceitável mostrar o desenvolvimento simbólico das equações de Riccati e citar que P resulta da solução de tal sistema polinomial; depois você escreve a expressão de K em função de p_{ij} como no Passo 5.

Passo 8

Resumo pedagógico final (recapitulando o que executar e porquê):
  • Use Bryson para obter Q e R (Passo 3).
  • Resolve-se a ARE para obter P (Passos 4–5).
  • Calcula-se K = R^{-1} B^\top P.
  • Sem as matrizes \,A e \,B do ponto 9 não há como obter o valor numérico final de K. Eu expliquei detalhadamente como proceder analiticamente no caso n=2, e dei fórmulas explícitas para Q e R que você deve usar.

Resposta

Não é possível calcular numericamente a matriz de ganhos K porque as matrizes \,A e \,B do ponto 9 não foram fornecidas. Com a regra de Bryson e convertendo para radianos, os pesos são:
Q=\begin{pmatrix}\dfrac{1296}{\pi^2} & 0\\[6pt] 0 & \dfrac{324}{\pi^2}\end{pmatrix} \qquad\text{e}\qquad R=\dfrac{144}{\pi^2}.
Procedimento final a aplicar assim que eu tiver \,A e \,B: resolver a ARE
A^\top P + P A - P B R^{-1} B^\top P + Q = 0
para P (simétrica) e então calcular
K = R^{-1} B^\top P.]

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