Considerando que os números naturais são organizados em forma crescente, dispostos em colunas, cuja ordem é estabelecida na tabela abaixo, onde \mathrm{A}_{1}= coluna 1, \mathrm{~A}_{2}= coluna 2 , , \mathrm{A}_{11}= coluna 11. Em qual coluna aparecerá o número 2019?
\mathrm{A}_{1} \mathrm{~A}_{2} \mathrm{~A}_{3} \mathrm{~A}_{4} \mathrm{~A}_{5} \mathrm{~A}_{6} \mathrm{~A}_{7} \mathrm{~A}_{8} \mathrm{~A}_{9} \mathrm{~A}_{10} \mathrm{~A}_{11}
1 2 3 4 5 6
7 8 9 10 11
12 13 14 15 16 17
18 19 20 21 22
23 24 25 26 27 28
\vdots \vdots \vdots \vdots \vdots \vdots \vdots \vdots \vdots \vdots \vdots
Alternativas
A)Coluna 2
B)Coluna 3
C)Coluna 5
D)Coluna 7
E)Coluna 11

Passo 1

O que o enunciado pede: em qual coluna aparecerá o número 2019.
Informações dadas (extraídas da tabela):
  • As colunas são \mathrm{A}_1,\mathrm{A}_2,\dots,\mathrm{A}_{11} (ou seja, existem 11 colunas).
  • Observando as primeiras linhas da tabela:
    • na primeira linha os números 1,2,3,4,5,6 ocupam, da esquerda para a direita, as colunas 1,3,5,7,9,11 (ou seja, as colunas ímpares);
    • na segunda linha os números 7,8,9,10,11 ocupam, da esquerda para a direita, as colunas 2,4,6,8,10 (ou seja, as colunas pares);
    • na terceira linha aparece 12 abaixo da coluna 1, 13 abaixo da coluna 3, e assim por diante — o padrão se repete: linhas ímpares preenchem as colunas ímpares (6 números por linha ímpar), linhas pares preenchem as colunas pares (5 números por linha par).
  • A tabela, portanto, coloca os naturais em ordem crescente, preenchendo alternadamente uma linha com 6 posições (colunas ímpares) e a próxima linha com 5 posições (colunas pares).

Passo 2

Entendendo a organização em blocos: uma linha ímpar + a seguinte linha par (duas linhas consecutivas) colocam no total 6+5=11 números. Como há 11 colunas, isso significa que os números se agrupam em blocos de 11 números:
  • bloco 1: números 1 a 11,
  • bloco 2: números 12 a 22,
  • bloco 3: números 23 a 33,
  • e assim por diante.
    Cada bloco de 11 corresponde a duas linhas (a primeira do bloco preenche colunas ímpares, a segunda preenche colunas pares).

Passo 3

Como localizar um número qualquer dentro do seu bloco: se um número n\) está no bloco cuja primeira posição é \((k-1)\cdot 11+1\), então a posição de \(n\) dentro do bloco é o resto da divisão de \(n\) por \(11\), com a convenção de que resto \(0\) corresponde à posição \(11\) do bloco. Formalmente, a posição dentro do bloco é \[\text{pos} = \begin{cases} n \bmod 11, & \text{se } n \bmod 11 \neq 0,\\[4pt] 11, & \text{se } n \bmod 11 = 0. \end{cases}
Mapeamento posição \to\] coluna (pelos exemplos da tabela): - posições \(1,2,3,4,5,6 (primeira linha do bloco) vão para as colunas 1,3,5,7,9,11, respectivamente;
- posições 7,8,9,10,11 (segunda linha do bloco) vão para as colunas 2,4,6,8,10, respectivamente.
Vou explicar: a primeira metade do bloco (posições 1 a 6) preenche as colunas ímpares da esquerda para a direita; a segunda metade (posições 7 a 11) preenche as colunas pares da esquerda para a direita.]

Passo 4

Calcule o resto da divisão de 2019 por 11.
Primeiro encontre um múltiplo próximo de 11:
11\times 183 = 2013.
Subtraindo,
2019-2013=6.
Logo 2019 \bmod 11 = 6. Pelo critério do passo anterior, a posição de 2019 dentro do seu bloco é a posição 6.

Passo 5

Traduzindo posição em coluna: posição 6 (que é uma das posições 1 a 6) corresponde à sexta coluna ímpar na ordem da esquerda para a direita. As colunas ímpares, da esquerda para a direita, são 1,3,5,7,9,11; a sexta delas é a coluna 11. Portanto o número 2019 aparece na coluna 11.

Resposta

Coluna 11