Considerando A=[rrr-1 & 1 & 2 -1 & 2 & 1 3 & -3 & 1], determine:
(b) se existir, a inversa da matriz A, utilizando operações elementares e exibindo-as.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é descobrir se a matriz tem uma inversa. Isso está dentro do assunto de Álgebra Linear, especificamente sobre matrizes e suas propriedades. Para isso, vamos usar operações elementares nas linhas da matriz para tentar transformar na matriz identidade. Se conseguirmos fazer isso, a matriz inversa existe e podemos encontrá-la nesse processo.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz [ccc|ccc -1 & 1 & 2 & 1 & 0 & 0 -1 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 3 & -3 & 1 & 0 & 0 & 1 ] junto com a matriz identidade lado a lado, formando uma matriz aumentada . Isso vai facilitar a aplicação das operações elementares.

Passo 3

O próximo passo é transformar o primeiro elemento da primeira linha em 1. Para isso, podemos multiplicar a primeira linha por -1:
[ccc|ccc 1 & -1 & -2 & -1 & 0 & 0 -1 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 3 & -3 & 1 & 0 & 0 & 1 ]

Passo 4

Agora, vamos eliminar os elementos abaixo do 1 que acabamos de criar. Para a segunda linha, adicionamos a primeira linha a ela:
Linha2 = Linha2 + Linha1
[ccc|ccc 1 & -1 & -2 & -1 & 0 & 0 0 & 1 & -1 & -1 & 1 & 0 3 & -3 & 1 & 0 & 0 & 1 ]

Passo 5

Fazemos o mesmo para a terceira linha. Subtraímos 3 vezes a primeira linha da terceira linha:
Linha3 = Linha3 - 3 * Linha1
[ccc|ccc 1 & -1 & -2 & -1 & 0 & 0 0 & 1 & -1 & -1 & 1 & 0 0 & 0 & 7 & 3 & 0 & 1 ]

Passo 6

Agora, queremos que o elemento da segunda linha e segunda coluna seja 1, o que já está feito. Vamos eliminar os outros elementos na segunda coluna. Para a primeira linha, adicionamos a segunda linha:
Linha1 = Linha1 + Linha2
[ccc|ccc 1 & 0 & -3 & -2 & 1 & 0 0 & 1 & -1 & -1 & 1 & 0 0 & 0 & 7 & 3 & 0 & 1 ]

Passo 7

Agora, vamos transformar o elemento da terceira linha e terceira coluna em 1, dividindo toda a terceira linha por 7:
Linha3 = Linha3 / 7
[ccc|ccc 1 & 0 & -3 & -2 & 1 & 0 0 & 1 & -1 & -1 & 1 & 0 0 & 0 & 1 & 37 & 0 & 17 ]

Passo 8

Com o 1 na posição (3,3), vamos eliminar os outros elementos na terceira coluna. Para a primeira linha, adicionamos 3 vezes a terceira linha:
Linha1 = Linha1 + 3 * Linha3
[ccc|ccc 1 & 0 & 0 & -2 + 3 cdot 37 & 1 + 3 cdot 0 & 0 + 3 cdot 17 0 & 1 & -1 & -1 & 1 & 0 0 & 0 & 1 & 37 & 0 & 17 ]
Simplificando:
[ccc|ccc 1 & 0 & 0 & -147 + 97 & 1 & 37 0 & 1 & -1 & -1 & 1 & 0 0 & 0 & 1 & 37 & 0 & 17 ]
[ccc|ccc 1 & 0 & 0 & -57 & 1 & 37 0 & 1 & -1 & -1 & 1 & 0 0 & 0 & 1 & 37 & 0 & 17 ]

Passo 9

Finalmente, vamos eliminar o elemento -1 na segunda linha e terceira coluna, adicionando a terceira linha à segunda linha:
Linha2 = Linha2 + Linha3
[ccc|ccc 1 & 0 & 0 & -57 & 1 & 37 0 & 1 & 0 & -1 + 37 & 1 + 0 & 0 + 17 0 & 0 & 1 & 37 & 0 & 17 ]
Simplificando:
[ccc|ccc 1 & 0 & 0 & -57 & 1 & 37 0 & 1 & 0 & -47 & 1 & 17 0 & 0 & 1 & 37 & 0 & 17 ]

Resposta

Prontinho! Transformamos A^-1 = [ccc -57 & 1 & 37 -47 & 1 & 17 37 & 0 & 17 ] na matriz identidade usando operações elementares, e as operações realizadas também transformaram a matriz identidade na inversa de . Então, a inversa de é:

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