Considerando o sistema S: \left\{\begin{array}{c}x-y+2 z=9 \\\\ 2 x-y-z=4\end{array}\right., nas variáveis x, y e z, responda aos itens seguintes.
a. Mostre que o terno ordenado (3 k-5,5 k-14, k) é solução de S para qualquer valor real de k.
b. Obtenha três soluções distintas do sistema S.
Passo 1
O enunciado nos dá o sistema
\left\{\begin{array}{r} x - y + 2z = 9\\[4pt] 2x - y - z = 4 \end{array}\right.
em x,y,z. As perguntas são:
a. Mostrar que o terno ordenado (3k-5,\,5k-14,\,k) é solução de S para qualquer k\in\mathbb{R}.
b. Obter três soluções distintas do sistema S.
Passamos agora a resolver e a explicar passo a passo.]
Passo 2
Estratégia: como há duas equações e três incógnitas, o sistema normalmente admite infinitas soluções que podem ser expressas usando um parâmetro. Aqui convém tratar z como parâmetro (chamado k) e resolver para x e y em função de z. Vou eliminar uma variável subtraindo as equações para obter uma relação simples entre x e z.
Escrevendo as duas equações para manipular:
(1)\quad x - y + 2z = 9, \qquad (2)\quad 2x - y - z = 4.
Subtraio a equação (1) de (2):
(2)-(1):\quad (2x - y - z) - (x - y + 2z) = 4 - 9.
Passo 3
Faço a subtração termo a termo na igualdade anterior:
(2x - y - z) - (x - y + 2z) = 2x - y - z - x + y - 2z = x - 3z.
Do lado direito:
4 - 9 = -5.
Logo obtemos a relação
x - 3z = -5.
Isolando x:
x = 3z - 5.
Vou explicar por que isso é válido: subtrair equações de um sistema é uma operação elementar que preserva o conjunto de soluções (somente combina linearmente as equações), portanto qualquer solução do sistema original satisfaz essa nova relação.
Passo 4
Agora que temos x em função de z, substituo x=3z-5 em uma das equações originais para obter y em função de z. Uso a equação (1):
x - y + 2z = 9.
Substituindo x:
(3z-5) - y + 2z = 9.
Somando os termos em z:
3z + 2z - 5 - y = 9 \quad\Rightarrow\quad 5z - 5 - y = 9.
Isolando y:
- y = 9 - 5z + 5 = 14 - 5z,
portanto
y = 5z - 14.
Passo 5
Resumo do que foi encontrado: para qualquer valor de z\in\mathbb{R} temos
x = 3z - 5,\qquad y = 5z - 14,\qquad z = z.
Se agora chamarmos o parâmetro z de k (ou seja, k=z), obtemos o terno ordenado
(3k-5,\,5k-14,\,k).
Isso mostra heurística e construtivamente que toda solução do sistema pode ser escrita nessa forma.
Passo 6
Para completar a parte (a) é conveniente verificar substituindo diretamente (3k-5,\,5k-14,\,k) nas equações originais, para ver que ambas são satisfeitas para todo k.
Substituição na primeira equação:
x - y + 2z = (3k-5) - (5k-14) + 2k = 3k -5 -5k +14 +2k = 0\cdot k +9 = 9.
Substituição na segunda equação:
2x - y - z = 2(3k-5) - (5k-14) - k = 6k -10 -5k +14 -k = 0\cdot k +4 = 4.
Como ambas as igualdades resultam nas constantes esperadas (9 e 4), isso prova que (3k-5,\,5k-14,\,k) é solução de S para qualquer k\in\mathbb{R}. Assim a parte (a) está completa.
Passo 7
Parte (b): basta escolher três valores diferentes de k e escrever os ternos correspondentes. Por exemplo:
Para k=0:
(3\cdot0-5,\,5\cdot0-14,\,0) = (-5,\,-14,\,0).
Para k=1:
(3\cdot1-5,\,5\cdot1-14,\,1) = (-2,\,-9,\,1).
Para k=2:
(3\cdot2-5,\,5\cdot2-14,\,2) = (1,\,-4,\,2).
Opcionalmente pode-se verificar rapidamente (visto que já provamos a forma geral) que cada um desses ternos satisfaz ambas as equações, mas isso já segue da prova geral da parte (a).
Resposta
a) O terno (3k-5,\,5k-14,\,k) é solução de S para todo k\in\mathbb{R}.
b) Três soluções distintas são (-5,\,-14,\,0), (-2,\,-9,\,1) e (1,\,-4,\,2).