Considerando K=1, trace manualmente o diagrama de Bode relativo ao sistema descrito pela seguinte função de transferência. Apresente as explicações dos procedimentos usados.
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que a questão pede e identificar o que precisamos. A gente tem uma função de transferência:
E precisamos traçar o diagrama de Bode para esse sistema. O diagrama de Bode mostra como o sistema responde em termos de ganho (magnitude) e fase para diferentes frequências. Para isso, vamos precisar entender os pólos e zeros da função de transferência e como eles afetam o diagrama.
Passo 2
Vamos começar identificando os componentes da função de transferência. Temos:
- Um ganho constante de 10.
- Um zero em
(porque quando ). - Três pólos: dois em
(devido ao termo ), um em e outro em .
Os zeros e pólos determinam como o ganho muda com a frequência.
Passo 3
Para traçar o diagrama de magnitude, vamos analisar o ganho de cada componente separadamente e depois somar quando estiver no eixo de magnitude em decibéis (dB).
A fórmula para a magnitude em dB é:
Vamos calcular a contribuição de cada parte:
- Ganho constante (10):
dB. - Zero em -0.1:
- Vai começar a aumentar o ganho a partir de
rad/s. - A taxa de subida será +20 dB/deca.
- Vai começar a aumentar o ganho a partir de
- Pólos em 0, -1 e -5:
- Pólos em 0 (integradores) contribuem com -40 dB/deca (cada um -20 dB/deca, total -40 dB/deca).
- Pólo em -1 começa a diminuir a partir de
rad/s. - Pólo em -5 começa a diminuir a partir de
rad/s. - Cada pólo contribui com -20 dB/deca a partir da sua frequência de corte.
Passo 4
Agora, vamos organizar as frequências de corte em ordem crescente:
-
rad/s (pólos múltiplos) -
rad/s (zero) -
rad/s (pólo) -
rad/s (pólo)
Vamos desenhar o diagrama de magnitude considerando as mudanças em cada faixa de frequência.
Passo 5
Faixa
rad/s:
- Ganho constante de 20 dB.
- Pólos em 0 já estão afetando, mas como estão em
, o ganho inicial é ajustado para -40 dB/deca devido aos dois pólos em .
Faixa
rad/s:
- O zero começa a aumentar o ganho a +20 dB/deca.
- Ganho total:
(ganho constante) + (pólos em 0) + (zero) = dB/deca (mantém-se estável).
Faixa
rad/s:
- O pólo em -1 começa a diminuir o ganho a -20 dB/deca.
- Ganho total:
dB/deca + = dB/deca.
Faixa
rad/s:
- O pólo em -5 começa a diminuir mais, adicionando -20 dB/deca.
- Ganho total:
dB/deca + = dB/deca.
Passo 6
Agora, vamos resumir como o diagrama de magnitude se comporta:
- Para
rad/s: O ganho é constante em 20 dB ajustado pelos pólos, resultando em uma tendência de -40 dB/deca. - Para
rad/s: O ganho fica estável em 0 dB/deca. - Para
rad/s: O ganho começa a diminuir a -20 dB/deca. - Para
rad/s: O ganho diminui ainda mais a -40 dB/deca.
Resposta
O diagrama de Bode de magnitude para o sistema é composto por:
- Um ganho inicial de 20 dB para frequências abaixo de 0.1 rad/s.
- A partir de 0.1 rad/s, o ganho permanece estável devido ao zero.
- A partir de 1 rad/s, o ganho começa a diminuir a uma taxa de -20 dB/deca.
- A partir de 5 rad/s, o ganho continua a diminuir a uma taxa total de -40 dB/deca.
Isso resulta em um gráfico onde o ganho começa em 20 dB, mantém-se estável por uma faixa de frequências, e depois diminui gradualmente conforme a frequência aumenta.