Considerando K=1, trace manualmente o diagrama de Bode relativo ao sistema descrito pela seguinte função de transferência. Apresente as explicações dos procedimentos usados.
G(s) H(s)=10 K (s+0.1)s^2(s+1)(s+5)

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que a questão pede e identificar o que precisamos. A gente tem uma função de transferência:
G(s) H(s) = 10 cdot 1 cdot (s + 0.1)s^2(s + 1)(s + 5)
E precisamos traçar o diagrama de Bode para esse sistema. O diagrama de Bode mostra como o sistema responde em termos de ganho (magnitude) e fase para diferentes frequências. Para isso, vamos precisar entender os pólos e zeros da função de transferência e como eles afetam o diagrama.

Passo 2

Vamos começar identificando os componentes da função de transferência. Temos:
  • Um ganho constante de 10.
  • Um zero em (porque quando ).
  • Três pólos: dois em (devido ao termo ), um em e outro em .
Os zeros e pólos determinam como o ganho muda com a frequência.

Passo 3

Para traçar o diagrama de magnitude, vamos analisar o ganho de cada componente separadamente e depois somar quando estiver no eixo de magnitude em decibéis (dB).
A fórmula para a magnitude em dB é:
20 log10 |G(jomega)H(jomega)|
Vamos calcular a contribuição de cada parte:
  • Ganho constante (10): dB.
  • Zero em -0.1:
    • Vai começar a aumentar o ganho a partir de rad/s.
    • A taxa de subida será +20 dB/deca.
  • Pólos em 0, -1 e -5:
    • Pólos em 0 (integradores) contribuem com -40 dB/deca (cada um -20 dB/deca, total -40 dB/deca).
    • Pólo em -1 começa a diminuir a partir de rad/s.
    • Pólo em -5 começa a diminuir a partir de rad/s.
    • Cada pólo contribui com -20 dB/deca a partir da sua frequência de corte.

Passo 4

Agora, vamos organizar as frequências de corte em ordem crescente:
  1. rad/s (pólos múltiplos)
  2. rad/s (zero)
  3. rad/s (pólo)
  4. rad/s (pólo)
Vamos desenhar o diagrama de magnitude considerando as mudanças em cada faixa de frequência.

Passo 5

Faixa rad/s:
  • Ganho constante de 20 dB.
  • Pólos em 0 já estão afetando, mas como estão em , o ganho inicial é ajustado para -40 dB/deca devido aos dois pólos em .
Faixa rad/s:
  • O zero começa a aumentar o ganho a +20 dB/deca.
  • Ganho total: (ganho constante) + (pólos em 0) + (zero) = dB/deca (mantém-se estável).
Faixa rad/s:
  • O pólo em -1 começa a diminuir o ganho a -20 dB/deca.
  • Ganho total: dB/deca + = dB/deca.
Faixa rad/s:
  • O pólo em -5 começa a diminuir mais, adicionando -20 dB/deca.
  • Ganho total: dB/deca + = dB/deca.

Passo 6

Agora, vamos resumir como o diagrama de magnitude se comporta:
  • Para rad/s: O ganho é constante em 20 dB ajustado pelos pólos, resultando em uma tendência de -40 dB/deca.
  • Para rad/s: O ganho fica estável em 0 dB/deca.
  • Para rad/s: O ganho começa a diminuir a -20 dB/deca.
  • Para rad/s: O ganho diminui ainda mais a -40 dB/deca.

Resposta

O diagrama de Bode de magnitude para o sistema é composto por:
  • Um ganho inicial de 20 dB para frequências abaixo de 0.1 rad/s.
  • A partir de 0.1 rad/s, o ganho permanece estável devido ao zero.
  • A partir de 1 rad/s, o ganho começa a diminuir a uma taxa de -20 dB/deca.
  • A partir de 5 rad/s, o ganho continua a diminuir a uma taxa total de -40 dB/deca.
Isso resulta em um gráfico onde o ganho começa em 20 dB, mantém-se estável por uma faixa de frequências, e depois diminui gradualmente conforme a frequência aumenta.

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