Determine a expansão por frações parciais da seguinte função: (i)
, cujos pólos do denominador estão em
j e
(ii)
Passo 1
Vamos analisar o enunciado: temos duas funções racionais,
e
. Nosso objetivo é encontrar a expansão em frações parciais dessas funções. Para isso, precisamos entender como decompor frações racionais em somas de termos mais simples, usando os pólos do denominador.
Passo 2
Primeiro, vamos trabalhar com
. Sabemos que os pólos do denominador são
e
. Isso significa que o denominador pode ser fatorado como
.
Passo 3
A expansão em frações parciais para
terá a forma:
Aqui,
,
e
são constantes que precisamos determinar.
Passo 4
Para encontrar
,
e
, multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum
:
Passo 5
Agora, escolhemos valores específicos de
para simplificar e encontrar cada constante:
- Para
:
Resolvendo, encontramos
.
- Para
:
Resolvendo, encontramos
.
- Para
:
Isso indica que
não pode ser determinado diretamente aqui, então precisamos usar outro método, como igualar os coeficientes dos termos.
Passo 6
Igualando os coeficientes dos termos de igual grau nos polinômios, resolveremos para
e completaremos os valores de
e
se necessário.
Passo 7
Após determinar
,
e
, substituímos de volta na expressão das frações parciais para obter a expansão completa de
.
Passo 8
Agora, vamos para
. Isso significa que
.
Passo 9
Fatorando o denominador de
:
Então, a expansão em frações parciais será:
Onde
e
são constantes a serem encontradas.
Passo 10
Multiplicamos ambos os lados pela forma fatorada do denominador:
Passo 11
Novamente, escolhemos valores específicos de
para determinar
e
:
- Para
:
- Para
:
Resposta
A expansão por frações parciais das funções é:
Onde
foi determinado através do processo de igualar coeficientes.