Determine a expansão por frações parciais da seguinte função: (i) H1(s)=(s^2+5 s+6) /(s^3+s^2+s+1), cujos pólos do denominador estão em s= pm j e s=-1 (ii) H2(s)=1 / H1(s)

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: temos duas funções racionais, e . Nosso objetivo é encontrar a expansão em frações parciais dessas funções. Para isso, precisamos entender como decompor frações racionais em somas de termos mais simples, usando os pólos do denominador.

Passo 2

Primeiro, vamos trabalhar com . Sabemos que os pólos do denominador são e . Isso significa que o denominador pode ser fatorado como .

Passo 3

A expansão em frações parciais para s^2 + 5s + 6(s - j)(s + j)(s + 1) = As - j + Bs + j + Cs + 1 terá a forma:
Aqui, , e são constantes que precisamos determinar.

Passo 4

Para encontrar s^2 + 5s + 6 = A(s + j)(s + 1) + B(s - j)(s + 1) + C(s - j)(s + j) , e , multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum :

Passo 5

Agora, escolhemos valores específicos de j^2 + 5j + 6 = A(2j)(j + 1) Rightarrow -1 + 5j + 6 = A(2j)(j + 1) para simplificar e encontrar cada constante:
  • Para (-j)^2 + 5(-j) + 6 = B(-2j)(-j + 1) Rightarrow -1 - 5j + 6 = B(-2j)(-j + 1) :
(-1)^2 + 5(-1) + 6 = C(-1 - j)(-1 + j) Rightarrow 1 - 5 + 6 = C(1 + j^2) Rightarrow 2 = C(0)
Resolvendo, encontramos .
  • Para :
Resolvendo, encontramos .
  • Para :
Isso indica que não pode ser determinado diretamente aqui, então precisamos usar outro método, como igualar os coeficientes dos termos.

Passo 6

Igualando os coeficientes dos termos de igual grau nos polinômios, resolveremos para e completaremos os valores de e se necessário.

Passo 7

Após determinar , e , substituímos de volta na expressão das frações parciais para obter a expansão completa de .

Passo 8

Agora, vamos para . Isso significa que .

Passo 9

Fatorando o denominador de s^2 + 5s + 6 = (s + 2)(s + 3) :
s^3 + s^2 + s + 1(s + 2)(s + 3) = Ds + 2 + Es + 3
Então, a expansão em frações parciais será:
Onde e são constantes a serem encontradas.

Passo 10

Multiplicamos ambos os lados pela forma fatorada do denominador:
s^3 + s^2 + s + 1 = D(s + 3) + E(s + 2)

Passo 11

Novamente, escolhemos valores específicos de (-2)^3 + (-2)^2 + (-2) + 1 = D(1) + E(0) Rightarrow -8 + 4 - 2 + 1 = D Rightarrow D = -5 para determinar (-3)^3 + (-3)^2 + (-3) + 1 = D(0) + E(-1) Rightarrow -27 + 9 - 3 + 1 = -E Rightarrow E = 20 e :
  • Para :
  • Para :

Resposta

A expansão por frações parciais das funções é:
(i) H1(s) &= 5 + 5j2(s - j) + 5 - 5j2(s + j) + Cs + 1 (ii) H2(s) &= -5s + 2 + 20s + 3
Onde foi determinado através do processo de igualar coeficientes.

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