Considerando os vetores no espaço vetorial R^3 ; u=(1,2,3); v=(4,5,6) e w=(6,7,8), mostre os axiomas:
A1) A adição è associativa.
(u+v)+w=u+(v+w)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que a adição de vetores no espaço vetorial R^3 é associativa. Isso significa que, para os vetores u, v e w dados, a soma (u + v) + w deve ser igual a u + (v + w). Para isso, vamos precisar somar os vetores passo a passo e conferir se os resultados são iguais.

Passo 2

Primeiro, vamos somar os vetores u e v. Lembrando que para somar vetores, a gente soma cada componente correspondente:
u + v = (1 + 4, 2 + 5, 3 + 6) = (5, 7, 9)

Passo 3

Agora, vamos somar o resultado acima com o vetor w:
(u + v) + w = (5, 7, 9) + (6, 7, 8) = (5 + 6, 7 + 7, 9 + 8) = (11, 14, 17)

Passo 4

Vamos fazer a soma na outra ordem agora. Primeiro, somamos os vetores v e w:
v + w = (4 + 6, 5 + 7, 6 + 8) = (10, 12, 14)

Passo 5

Agora, somamos o vetor u com o resultado da soma de v + w:
u + (v + w) = (1, 2, 3) + (10, 12, 14) = (1 + 10, 2 + 12, 3 + 14) = (11, 14, 17)

Passo 6

Comparando os resultados das duas somas:
(u + v) + w = (11, 14, 17) e u + (v + w) = (11, 14, 17)
Vemos que os dois lados são iguais, o que confirma que a adição é associativa.

Resposta

(u + v) + w = u + (v + w) = (11, 14, 17)

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