Considere uma amostra simples de tamanho
contendo os valores
. Um analista propõe ajustar uma distribuição
para esses dados, onde ambos os parâmetros são desconhecidos.
(a) Calcule a média amostral
e a variância amostral
.
(b) Tente estimar
e
pelo Método dos Momentos.
(c) O resultado faz sentido estatístico? O que isso prova sobre a confiabilidade do Método dos Momentos em relação ao espaço paramétrico?
(a) Calcule a média amostral
(b) Tente estimar
(c) O resultado faz sentido estatístico? O que isso prova sobre a confiabilidade do Método dos Momentos em relação ao espaço paramétrico?
Passo 1
O enunciado dá uma amostra simples de tamanho
com os valores
Pede-se:
- (a) calcular a média amostral
e a variância amostral ; - (b) estimar
e (ambos desconhecidos) por Método dos Momentos, assumindo que os dados vêm de ; - (c) avaliar se o resultado faz sentido estatístico e o que isso mostra sobre a confiabilidade do Método dos Momentos em relação ao espaço paramétrico.
Informações relevantes: valores observados (peguei-os do enunciado) e a fórmula dos momentos populacionais para a Binomial (vou usar isso no passo de resolução).
Passo 2
Definição e cálculo da média amostral. A média amostral é a soma das observações dividida por
:
Aplicando aos dados:
Interpretação curta: a média amostral
é o valor médio observado da amostra.
Passo 3
Definição e cálculo da variância amostral (usando a definição fornecida com denominador
). A variância amostral (tipo “populacional” com denominador
) é
Calculo passo a passo das diferenças e dos quadrados (peguei
do passo anterior):
Somando os quadrados e dividindo por
:
Portanto a variância amostral é
.
(Observação didática: existe também a versão com denominador
para estimador não viciado de variância; aqui usei a fórmula pedida com denominador
.)
Passo 4
Momento teórico da Binomial — preparar as equações do Método dos Momentos. Para
No Método dos Momentos igualamos os momentos amostrais aos momentos teóricos:
Vou substituir os valores encontrados
e resolver o sistema para
e
.]
Passo 5
Resolver as equações do Método dos Momentos. Substituindo:
Divido a segunda equação pela primeira (desde que
; aqui
então é seguro):
Daí
Com
uso
para obter
:
Portanto soluções formais do sistema dos momentos são
e
.]
Passo 6
Interpretando os resultados e verificando consistência com o espaço paramétrico. Regras do modelo Binomial:
-
deve satisfazer . -
deve ser um inteiro não negativo ( ), normalmente positivo se há chance de sucesso.
Os valores obtidos por momento (
e
) violam esses requisitos:
é negativo e
é negativo e não inteiro. Logo a solução NÃO faz sentido estatístico.
Explicação intuitiva e geral do porquê isso aconteceu (lição importante): para a Binomial vale sempre
porque
. Ou seja, para qualquer Binomial a variância teórica é menor ou igual à média teórica. No nosso caso a amostra tem
e
, ou seja
Isso indica que os momentos amostrais estão em conflito com qualquer valor possível de
numa Binomial — a amostra está “superdispersa” em relação ao modelo Binomial. Por isso as equações dos momentos levam a soluções fora do espaço admissível.
Passo 7
O que isso prova sobre a confiabilidade do Método dos Momentos em relação ao espaço paramétrico? Conclusões práticas e pedagógicas:
- O Método dos Momentos resolve equações algebricas que envolvem momentos teóricos; ele NÃO impõe automaticamente as restrições do espaço paramétrico (por exemplo
ou inteiro). Assim pode produzir estimativas que são matematicamente soluções das equações de momento, mas estatisticamente impossíveis. - Portanto MM pode ser inconsistente com o espaço paramétrico quando os momentos amostrais são incompatíveis com a família escolhida. É uma falha prática: precisa-se checar restrições e, se necessário, usar métodos que respeitem o espaço paramétrico (estimadores com restrição, MLE com restrições, estimadores por projeção, ou mudar o modelo).
- No caso discreto com parâmetro inteiro
a situação é ainda mais delicada: mesmo que MM devolvesse real positivo, seria preciso adaptar (por exemplo procurar o inteiro mais próximo que satisfaça as equações de forma aceita), mas isso não resolve o problema fundamental quando a desigualdade var mean é violada.
Mensagem final encorajadora: isso não é um erro seu — é um sinal de que o modelo escolhido (Binomial) não é compatível com os dados observados; a lição prática é sempre checar se os momentos observados são plausíveis para o modelo antes de aceitar estimativas.
Resposta
(a)
(b) Método dos Momentos dá e
(solução algébrica das equações dos momentos)
(c) Não faz sentido estatístico: e
estão fora do espaço paramétrico; isso mostra que o Método dos Momentos pode gerar estimativas inviáveis quando os momentos amostrais são incompatíveis com as restrições do modelo (a variância amostral aqui excede a média, o que é impossível para uma Binomial).
(b) Método dos Momentos dá
(c) Não faz sentido estatístico: