Considere uma amostra simples de tamanho n=4 contendo os valores x=\{0,0,10,10\}. Um analista propõe ajustar uma distribuição \operatorname{Binomial}(m, p) para esses dados, onde ambos os parâmetros são desconhecidos.
(a) Calcule a média amostral (\bar{X}) e a variância amostral \widehat{\sigma}^{2}=\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right) / n.
(b) Tente estimar m e p pelo Método dos Momentos.
(c) O resultado faz sentido estatístico? O que isso prova sobre a confiabilidade do Método dos Momentos em relação ao espaço paramétrico?

Passo 1

O enunciado dá uma amostra simples de tamanho n=4 com os valores
X=\{0,0,10,10\}.
Pede-se:
  • (a) calcular a média amostral \bar{X} e a variância amostral \widehat{\sigma}^{2}=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})^{2};
  • (b) estimar m e p (ambos desconhecidos) por Método dos Momentos, assumindo que os dados vêm de \operatorname{Binomial}(m,p);
  • (c) avaliar se o resultado faz sentido estatístico e o que isso mostra sobre a confiabilidade do Método dos Momentos em relação ao espaço paramétrico.
Informações relevantes: valores observados (peguei-os do enunciado) e a fórmula dos momentos populacionais para a Binomial (vou usar isso no passo de resolução).

Passo 2

Definição e cálculo da média amostral. A média amostral é a soma das observações dividida por n:
\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i.
Aplicando aos dados:
\bar{X}=\frac{0+0+10+10}{4}=\frac{20}{4}=5.
Interpretação curta: a média amostral \bar{X}=5 é o valor médio observado da amostra.

Passo 3

Definição e cálculo da variância amostral (usando a definição fornecida com denominador n). A variância amostral (tipo “populacional” com denominador n) é
\widehat{\sigma}^{2}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})^{2}.
Calculo passo a passo das diferenças e dos quadrados (peguei \bar{X}=5 do passo anterior):
\begin{aligned} X_1-\bar{X}&=0-5=-5,\quad (X_1-\bar{X})^{2}=25,\\\ X_2-\bar{X}&=0-5=-5,\quad (X_2-\bar{X})^{2}=25,\\\ X_3-\bar{X}&=10-5=5,\quad (X_3-\bar{X})^{2}=25,\\\ X_4-\bar{X}&=10-5=5,\quad (X_4-\bar{X})^{2}=25. \end{aligned}
Somando os quadrados e dividindo por n=4:
\widehat{\sigma}^{2}=\frac{25+25+25+25}{4}=\frac{100}{4}=25.
Portanto a variância amostral é \widehat{\sigma}^{2}=25.
(Observação didática: existe também a versão com denominador n-1 para estimador não viciado de variância; aqui usei a fórmula pedida com denominador n.)

Passo 4

Momento teórico da Binomial — preparar as equações do Método dos Momentos. Para X\sim\operatorname{Binomial}(m,p)\) vale: \[\mathbb{E}[X]=m p, \qquad \operatorname{Var}(X)=m p(1-p).
No Método dos Momentos igualamos os momentos amostrais aos momentos teóricos:
\begin{cases} m p=\bar{X},\\[4pt] m p(1-p)=\widehat{\sigma}^{2}. \end{cases}
Vou substituir os valores encontrados \bar{X}=5\] e \(\widehat{\sigma}^{2}=25 e resolver o sistema para m e p.]

Passo 5

Resolver as equações do Método dos Momentos. Substituindo:
\begin{cases} m p=5,\\[4pt] m p(1-p)=25. \end{cases}
Divido a segunda equação pela primeira (desde que m p\neq0; aqui m p=5 então é seguro):
\frac{m p(1-p)}{m p}=1-p=\frac{25}{5}=5.
Daí
1-p=5 \quad\Rightarrow\quad p=1-5=-4.
Com p=-4 uso m p=5 para obter m:
m=\frac{5}{p}=\frac{5}{-4}=-1{,}25.
Portanto soluções formais do sistema dos momentos são \displaystyle p=-4 e \displaystyle m=-1{,}25.]

Passo 6

Interpretando os resultados e verificando consistência com o espaço paramétrico. Regras do modelo Binomial:
  • p deve satisfazer 0\le p\le1.
  • m deve ser um inteiro não negativo ( m\in\{0,1,2,\dots\}), normalmente positivo se há chance de sucesso.
Os valores obtidos por momento ( p=-4 e m=-1{,}25) violam esses requisitos: p é negativo e m é negativo e não inteiro. Logo a solução NÃO faz sentido estatístico.
Explicação intuitiva e geral do porquê isso aconteceu (lição importante): para a Binomial vale sempre
\operatorname{Var}(X)=m p(1-p)=\mathbb{E}[X]\,(1-p)\le \mathbb{E}[X],
porque 1-p\le1. Ou seja, para qualquer Binomial a variância teórica é menor ou igual à média teórica. No nosso caso a amostra tem \widehat{\sigma}^{2}=25 e \bar{X}=5, ou seja
\widehat{\sigma}^{2}=25>\bar{X}=5.
Isso indica que os momentos amostrais estão em conflito com qualquer valor possível de (m,p) numa Binomial — a amostra está “superdispersa” em relação ao modelo Binomial. Por isso as equações dos momentos levam a soluções fora do espaço admissível.

Passo 7

O que isso prova sobre a confiabilidade do Método dos Momentos em relação ao espaço paramétrico? Conclusões práticas e pedagógicas:
  • O Método dos Momentos resolve equações algebricas que envolvem momentos teóricos; ele NÃO impõe automaticamente as restrições do espaço paramétrico (por exemplo 0\le p\le1 ou m inteiro). Assim pode produzir estimativas que são matematicamente soluções das equações de momento, mas estatisticamente impossíveis.
  • Portanto MM pode ser inconsistente com o espaço paramétrico quando os momentos amostrais são incompatíveis com a família escolhida. É uma falha prática: precisa-se checar restrições e, se necessário, usar métodos que respeitem o espaço paramétrico (estimadores com restrição, MLE com restrições, estimadores por projeção, ou mudar o modelo).
  • No caso discreto com parâmetro inteiro m a situação é ainda mais delicada: mesmo que MM devolvesse m real positivo, seria preciso adaptar (por exemplo procurar o inteiro mais próximo que satisfaça as equações de forma aceita), mas isso não resolve o problema fundamental quando a desigualdade var \lemean é violada.
Mensagem final encorajadora: isso não é um erro seu — é um sinal de que o modelo escolhido (Binomial) não é compatível com os dados observados; a lição prática é sempre checar se os momentos observados são plausíveis para o modelo antes de aceitar estimativas.

Resposta

(a) \bar{X}=5,\\ \widehat{\sigma}^{2}=25
(b) Método dos Momentos dá \hat{p}=-4 e \hat{m}=-1{,}25 (solução algébrica das equações dos momentos)
(c) Não faz sentido estatístico: \hat{p} e \hat{m} estão fora do espaço paramétrico; isso mostra que o Método dos Momentos pode gerar estimativas inviáveis quando os momentos amostrais são incompatíveis com as restrições do modelo (a variância amostral aqui excede a média, o que é impossível para uma Binomial).

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