Considere um amplificador operacional ideal em uma configuração de diferenciador com uma resistência de feedback de 1 \mathrm{k} \Omega e um capacitor de entrada de 1 \mu \mathrm{~F}. Se uma fonte de tensão degrau de 5 V é aplicada à entrada em \mathrm{t}=0 \mathrm{~s}, qual é a tensão de saída como função do tempo? E se fosse uma tensão senoidal com amplitude de 5 V e frequência \omega=10 \mathrm{rad} / \mathrm{s} ?

Passo 1

O enunciado descreve um amplificador operacional ideal em configuração diferenciadora com resistência de realimentação R_{f}=1\,\mathrm{k}\Omega e capacitância de entrada C=1\,\mu\mathrm{F}. Pede-se a tensão de saída V_{out}(t) quando a entrada é
– um degrau de 5 V em t=0, ou
– uma senóide de amplitude 5 V e frequência angular \omega=10,rad/s.
Para resolver, vamos usar a propriedade de derivação em circuitos: um diferenciador ideal satisfaz
V_{out}(t)\;=\;-R_{f}\,C\;\frac{d\,V_{in}(t)}{dt}\,.

Passo 2

Derivação geral:
V_{out}(t) = -R_{f}\,C\,\frac{dV_{in}(t)}{dt}\,.
Essa expressão vem do fato de que a impedância do capacitor de entrada no ramo negativo é 1/(sC), gerando a função de transferência -R_{f}C\,s no domínio de Laplace.

Passo 3

Caso 1: entrada degrau
V_{in}(t)=5\,u(t)\quad\Longrightarrow\quad \frac{dV_{in}}{dt}=5\,\delta(t)\,.
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V_{out}(t) =-R_{f}\,C\;\bigl[5\,\delta(t)\bigr] =-\bigl(1\times10^{3}\bigr)\,\bigl(1\times10^{-6}\bigr)\,5\,\delta(t) =-5\times10^{-3}\,\delta(t)\,.
Isto é, a saída é um impulso de área -5\times10^{-3} em t=0.

Passo 4

Caso 2: entrada senoidal
V_{in}(t)=5\sin(10t)\quad\Longrightarrow\quad \frac{dV_{in}}{dt}=5\cdot10\;\cos(10t)=50\cos(10t)\,.
Logo
V_{out}(t) =-R_{f}\,C\;\bigl[50\cos(10t)\bigr] =-\bigl(1\times10^{3}\bigr)\,\bigl(1\times10^{-6}\bigr)\,50\cos(10t) =-0.05\cos(10t)\,\text{V}.

Resposta

Para o degrau de 5 V em t=0:
V_{out}(t)=-5\times10^{-3}\,\delta(t)\,.
Para a senóide 5\sin(10t):
V_{out}(t)=-0.05\cos(10t)\,\text{V}.

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