Considere um anel circular, delgado, de raio \mathcal{R}, centrado na origem e contido no plano cartesiano \mathcal{X} \mathcal{Y}. A densidade linear de carga desse anel é dada por \lambda(\varphi)=\lambda_{0} \cos \varphi, onde \varphi é o ângulo anormal medido a partir do eixo \mathcal{X} e \lambda_{0}>0 é uma constante. Seja \mathcal{P}:(0,0, z) um ponto sobre o eixo \mathcal{Z}. Longe do anel, ou seja, para z \gg \mathcal{R}, a dependência assintótica do módulo do campo eletrostático E(z), gerado por tal anel, com respeito à cota z de \mathcal{P} é:
(a) z^{-4}.
(b) z^{-3}.
(c) z^{-2}.
(d) z^{-1}.
(e) uma constante não nula (independente de z ).
(f) 0 .

Passo 1

O enunciado dá um anel circular de raio \mathcal{R}, centrado na origem, no plano xy. A densidade linear de carga ao longo do anel é
\lambda(\varphi)=\lambda_{0}\cos\varphi,
onde \varphi é o ângulo polar medido a partir do eixo x e \lambda_{0}>0 é constante. O ponto onde queremos o campo é \mathcal{P}:(0,0,z) sobre o eixo z, com z\gg\mathcal{R} (região de campo distante). A pergunta é: qual a dependência assintótica do módulo do campo elétrico E(z) com z quando z\to\infty? As opções são:
(a) z^{-4}. (b) z^{-3}. (c) z^{-2}. (d) z^{-1}. (e) constante não nula. (f) 0.

Passo 2

Primeiro calculemos a carga total (monopolo). Para um anel, o elemento de comprimento é dl=\mathcal{R}\,d\varphi. A carga total é
Q=\int_0^{2\pi}\lambda(\varphi)\,dl=\mathcal{R}\lambda_{0}\int_0^{2\pi}\cos\varphi\,d\varphi.
A integral de \cos\varphi em um período completo é zero, logo
Q=0.
Interpretação didática: como a carga total é nula, não existe termo monopolar; portanto o termo que decairia como 1/z^{2} no campo (originado do monopolo) está ausente.

Passo 3

Como o monopolo é nulo, o próximo candidato a dominar o campo distante é o dipolo. Vamos calcular o momento de dipolo elétrico \mathbf{p} da distribuição linear. Para uma distribuição linear \lambda(\varphi) localizada sobre a curva \mathbf{r}'(\varphi), o momento de dipolo é
\mathbf{p}=\int \mathbf{r}'\,\lambda(\varphi)\,dl.
Aqui \mathbf{r}'(\varphi)=\mathcal{R}(\cos\varphi,\sin\varphi,0) e dl=\mathcal{R}\,d\varphi. Assim
\mathbf{p}=\mathcal{R}^2\lambda_{0}\int_{0}^{2\pi}\cos\varphi\;(\cos\varphi,\sin\varphi,0)\,d\varphi.
Separemos componentes. Para p_x:
p_x=\mathcal{R}^2\lambda_{0}\int_{0}^{2\pi}\cos^2\varphi\,d\varphi =\mathcal{R}^2\lambda_{0}\cdot\pi,
pois \int_{0}^{2\pi}\cos^2\varphi\,d\varphi=\pi. Para p_y:
p_y=\mathcal{R}^2\lambda_{0}\int_{0}^{2\pi}\sin\varphi\cos\varphi\,d\varphi=0,
pois \int_{0}^{2\pi}\sin\varphi\cos\varphi\,d\varphi=0. A componente p_z=0 porque todas as cargas estão no plano xy. Portanto
\mathbf{p}=\pi\lambda_{0}\mathcal{R}^2\,\hat{\mathbf{x}}.
Interpretação: a distribuição \lambda\propto\cos\varphi coloca mais carga positiva perto de \varphi=0 (e negativa perto de \pi), resultando num dipolo orientado ao longo do eixo x.

Passo 4

Agora vamos usar a forma do campo elétrico de um dipolo no regime distante (multipolos). A fórmula conhecida para o campo elétrico gerado por um dipolo \mathbf{p} no ponto \mathbf{r} é
\mathbf{E}(\mathbf{r})=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\dfrac{3(\mathbf{p}\cdot\hat{\mathbf{r}})\,\hat{\mathbf{r}}-\mathbf{p}}{r^3},
onde r=|\mathbf{r}| e \hat{\mathbf{r}}=\mathbf{r}/r. Explicando: o campo decai como 1/r^3 para um dipolo, enquanto o potencial decai como 1/r^2. Logo, se o dipolo for o primeiro momento não nulo, espera-se E\propto z^{-3}.
Apliquemos isso ao ponto sobre o eixo z: \mathbf{r}=z\,\hat{\mathbf{z}}, então \hat{\mathbf{r}}=\hat{\mathbf{z}} e r=z. Como \mathbf{p}=p\,\hat{\mathbf{x}} tem p\cdot\hat{\mathbf{z}}=0, a expressão se simplifica para
\mathbf{E}(0,0,z)=-\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\dfrac{\mathbf{p}}{z^3}.
Daí o módulo do campo é
E(z)=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\dfrac{|\mathbf{p}|}{z^3}\propto z^{-3}.
Observação didática: o fato de \mathbf{p} ser perpendicular ao eixo z apenas define a direção (aqui o campo aponta no sentido -\hat{\mathbf{x}}), mas não altera o decaimento com z. Se o dipolo fosse nulo também, o próximo termo (quadrupolo) daria um decaimento \propto z^{-4}, etc.

Passo 5

Conclusão lógica: o termo dominante no campo distante é o dipolo ( \mathbf{p}\neq 0), e portanto o módulo do campo elétrico escala como z^{-3} para z\gg\mathcal{R}. Isso corresponde à alternativa (b).

Resposta

(b) z^{-3}