Considere um anel circular, delgado, de raio
, centrado na origem e contido no plano cartesiano
. A densidade linear de carga desse anel é dada por
, onde
é o ângulo anormal medido a partir do eixo
e
é uma constante. Seja
um ponto sobre o eixo
. Longe do anel, ou seja, para
, a dependência assintótica do módulo do campo eletrostático
, gerado por tal anel, com respeito à cota
de
é:
(a)
.
(b)
.
(c)
.
(d)
.
(e) uma constante não nula (independente de
).
(f) 0 .
(a)
(b)
(c)
(d)
(e) uma constante não nula (independente de
(f) 0 .
Passo 1
O enunciado dá um anel circular de raio
, centrado na origem, no plano
. A densidade linear de carga ao longo do anel é
onde
é o ângulo polar medido a partir do eixo
e
é constante. O ponto onde queremos o campo é
sobre o eixo
, com
(região de campo distante). A pergunta é: qual a dependência assintótica do módulo do campo elétrico
com
quando
? As opções são:
(a) . (b)
. (c)
. (d)
. (e) constante não nula. (f) 0.
(a)
Passo 2
Primeiro calculemos a carga total (monopolo). Para um anel, o elemento de comprimento é
. A carga total é
A integral de
em um período completo é zero, logo
Interpretação didática: como a carga total é nula, não existe termo monopolar; portanto o termo que decairia como
no campo (originado do monopolo) está ausente.
Passo 3
Como o monopolo é nulo, o próximo candidato a dominar o campo distante é o dipolo. Vamos calcular o momento de dipolo elétrico
da distribuição linear. Para uma distribuição linear
localizada sobre a curva
, o momento de dipolo é
Aqui
e
. Assim
Separemos componentes. Para
:
pois
. Para
:
pois
. A componente
porque todas as cargas estão no plano
. Portanto
Interpretação: a distribuição
coloca mais carga positiva perto de
(e negativa perto de
), resultando num dipolo orientado ao longo do eixo
.
Passo 4
Agora vamos usar a forma do campo elétrico de um dipolo no regime distante (multipolos). A fórmula conhecida para o campo elétrico gerado por um dipolo
no ponto
é
onde
e
. Explicando: o campo decai como
para um dipolo, enquanto o potencial decai como
. Logo, se o dipolo for o primeiro momento não nulo, espera-se
.
Apliquemos isso ao ponto sobre o eixo
:
, então
e
. Como
tem
, a expressão se simplifica para
Daí o módulo do campo é
Observação didática: o fato de
ser perpendicular ao eixo
apenas define a direção (aqui o campo aponta no sentido
), mas não altera o decaimento com
. Se o dipolo fosse nulo também, o próximo termo (quadrupolo) daria um decaimento
, etc.
Passo 5
Conclusão lógica: o termo dominante no campo distante é o dipolo (
), e portanto o módulo do campo elétrico escala como
para
. Isso corresponde à alternativa (b).
Resposta
(b)