Considere as autofunções da equação de Schrödinger para o elétron no átomo tipo hidrogênio
e os autovalores,
, de energia levando em conta apenas o potencial de Coulomb.
(i) Quantos orbitais existem para a energia
? Justifique.
(ii) Explique com base nos números quânticos a que estados físicos do elétron correspondem essas diferentes orbitais?
(iii) Para o orbital em que a função radial é
determine o raio mais provável do átomo, isto é, a distância mais provável entre o elétron e o núcleo. Dado:
.
(iv) Considerando agora o spin do elétron, quantos estados diferentes devem existir para o elétron quando
? Justifique sua resposta.
(i) Quantos orbitais existem para a energia
(ii) Explique com base nos números quânticos a que estados físicos do elétron correspondem essas diferentes orbitais?
(iii) Para o orbital em que a função radial é
(iv) Considerando agora o spin do elétron, quantos estados diferentes devem existir para o elétron quando
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no enunciado! A gente está falando sobre as autofunções da equação de Schrödinger para um elétron no átomo de hidrogênio. A função de onda é dada por:
E os autovalores de energia são $ E_{n} $, considerando apenas o potencial de Coulomb. Vamos precisar usar conceitos de números quânticos, orbitais, e a função radial dada. Vamos resolver cada parte passo a passo!
Passo 2
Parte (i): Quantos orbitais existem para a energia $ E_{2}(n=2) $? Justifique.
Primeiro, para cada nível de energia $ n $, o número de valores possíveis para o número quântico angular $ l $ vai de 0 até $ n-1 $. Para $ n=2 $:
- $ l $ pode ser 0 ou 1.
Para cada valor de $ l $, o número quântico magnético $ m_{l} $ varia de $ -l $ a $ +l $, incluindo zero. Então:
- Para $ l=0 $, $ m_{l}=0 $ → 1 orbital.
- Para $ l=1 $, $ m_{l}=-1, 0, +1 $ → 3 orbitais.
Total de orbitais para $ n=2 $: $ 1 + 3 = 4 $.
Passo 3
Parte (ii): Explique com base nos números quânticos a que estados físicos do elétron correspondem essas diferentes orbitais.
Os diferentes orbitais correspondem a diferentes estados do elétron baseados nos números quânticos $ n $, $ l $ e $ m_{l} $:
- Número quântico principal ($ n $): Determina o nível de energia e o tamanho do orbital.
- Número quântico azimutal ($ l $): Determina a forma do orbital.
- Número quântico magnético ($ m_{l} $): Determina a orientação espacial do orbital.
Para $ n=2 $:
- $ l=0 $ corresponde ao orbital 2s, que tem forma esférica.
- $ l=1 $ corresponde aos orbitais 2p, que têm forma dumbbell e três orientações possíveis ($ m_{l}=-1,0,+1 $).
Assim, os quatro orbitais para $ n=2 $ são um 2s e três 2p com diferentes orientações.
Passo 4
Parte (iii): Para o orbital em que a função radial é
determine o raio mais provável do átomo, isto é, a distância mais provável entre o elétron e o núcleo. Dado: $ p_{n l} = R_{n l}^{2} r^{2} $.
Vamos encontrar o valor de $ r $ que maximiza $ p_{21}® = R_{21}®^2 r^2 $.
Primeiro, calculamos $ p_{21}® $:
Para encontrar o máximo, derivamos $ p_{21}® $ em relação a $ r $ e igualamos a zero:
Factorizando:
As soluções são $ r=0 $ ou $ r=4 a_{0} $. Ignoramos $ r=0 $ porque não faz sentido físico para distância. Assim, o raio mais provável é $ r = 4 a_{0} $.
Passo 5
Parte (iv): Considerando agora o spin do elétron, quantos estados diferentes devem existir para o elétron quando $ n=2 $? Justifique sua resposta.
Além dos números quânticos $ n $, $ l $, $ m_{l} $, temos o número quântico de spin $ m_{s} $, que pode ser $ +\frac{1}{2} $ ou $ -\frac{1}{2} $.
Para cada orbital, existem 2 possíveis estados de spin. Já vimos que para $ n=2 $, existem 4 orbitais. Portanto, o número total de estados diferentes é:
Resposta
(i) Existem 4 orbitais para a energia $ E_{2}(n=2) $.
(ii) Esses orbitais correspondem a um orbital 2s e três orbitais 2p com diferentes orientações espaciais, definidos pelos números quânticos $ n $, $ l $ e $ m_{l} $.
(iii) O raio mais provável do átomo é $ r = 4 a_{0} $, onde $ a_{0} $ é o raio de Bohr.
(iv) Considerando o spin do elétron, existem 8 estados diferentes para o elétron quando $ n=2 $.