Considere as autofunções da equação de Schrödinger para o elétron no átomo tipo hidrogênio psin l ml(r, theta, varphi)=Rn l(r) Yl ml(theta, varphi) e os autovalores, En, de energia levando em conta apenas o potencial de Coulomb.
(i) Quantos orbitais existem para a energia E2(n=2) ? Justifique.
(ii) Explique com base nos números quânticos a que estados físicos do elétron correspondem essas diferentes orbitais?
(iii) Para o orbital em que a função radial é
R21(r)=12 raiz6 a0^3 ra0 e^-r2 a0,
determine o raio mais provável do átomo, isto é, a distância mais provável entre o elétron e o núcleo. Dado: pn l=Rn l^2 r^2.
(iv) Considerando agora o spin do elétron, quantos estados diferentes devem existir para o elétron quando n=2 ? Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no enunciado! A gente está falando sobre as autofunções da equação de Schrödinger para um elétron no átomo de hidrogênio. A função de onda é dada por:
psin l ml(r, theta, varphi) = Rn l(r) Yl ml(theta, varphi)
E os autovalores de energia são $ E_{n} $, considerando apenas o potencial de Coulomb. Vamos precisar usar conceitos de números quânticos, orbitais, e a função radial dada. Vamos resolver cada parte passo a passo!

Passo 2

Parte (i): Quantos orbitais existem para a energia $ E_{2}(n=2) $? Justifique.
Primeiro, para cada nível de energia $ n $, o número de valores possíveis para o número quântico angular $ l $ vai de 0 até $ n-1 $. Para $ n=2 $:
  • $ l $ pode ser 0 ou 1.
Para cada valor de $ l $, o número quântico magnético $ m_{l} $ varia de $ -l $ a $ +l $, incluindo zero. Então:
  • Para $ l=0 $, $ m_{l}=0 $ → 1 orbital.
  • Para $ l=1 $, $ m_{l}=-1, 0, +1 $ → 3 orbitais.
Total de orbitais para $ n=2 $: $ 1 + 3 = 4 $.

Passo 3

Parte (ii): Explique com base nos números quânticos a que estados físicos do elétron correspondem essas diferentes orbitais.
Os diferentes orbitais correspondem a diferentes estados do elétron baseados nos números quânticos $ n $, $ l $ e $ m_{l} $:
  • Número quântico principal ($ n $): Determina o nível de energia e o tamanho do orbital.
  • Número quântico azimutal ($ l $): Determina a forma do orbital.
  • Número quântico magnético ($ m_{l} $): Determina a orientação espacial do orbital.
Para $ n=2 $:
  • $ l=0 $ corresponde ao orbital 2s, que tem forma esférica.
  • $ l=1 $ corresponde aos orbitais 2p, que têm forma dumbbell e três orientações possíveis ($ m_{l}=-1,0,+1 $).
Assim, os quatro orbitais para $ n=2 $ são um 2s e três 2p com diferentes orientações.

Passo 4

Parte (iii): Para o orbital em que a função radial é
R21(r) = 12 raiz6 a0^3 ra0 e^-r2 a0,
determine o raio mais provável do átomo, isto é, a distância mais provável entre o elétron e o núcleo. Dado: $ p_{n l} = R_{n l}^{2} r^{2} $.
Vamos encontrar o valor de $ r $ que maximiza $ p_{21}® = R_{21}®^2 r^2 $.
Primeiro, calculamos $ p_{21}® $:
pn l = Rn l^2 r^2
Para encontrar o máximo, derivamos $ p_{21}® $ em relação a $ r $ e igualamos a zero:
r
Factorizando:
p21(r) = R21(r)^2 r^2
As soluções são $ r=0 $ ou $ r=4 a_{0} $. Ignoramos $ r=0 $ porque não faz sentido físico para distância. Assim, o raio mais provável é $ r = 4 a_{0} $.

Passo 5

Parte (iv): Considerando agora o spin do elétron, quantos estados diferentes devem existir para o elétron quando $ n=2 $? Justifique sua resposta.
Além dos números quânticos $ n $, $ l $, $ m_{l} $, temos o número quântico de spin $ m_{s} $, que pode ser $ +\frac{1}{2} $ ou $ -\frac{1}{2} $.
Para cada orbital, existem 2 possíveis estados de spin. Já vimos que para $ n=2 $, existem 4 orbitais. Portanto, o número total de estados diferentes é:
n=2

Resposta

(i) Existem 4 orbitais para a energia $ E_{2}(n=2) $.
(ii) Esses orbitais correspondem a um orbital 2s e três orbitais 2p com diferentes orientações espaciais, definidos pelos números quânticos $ n $, $ l $ e $ m_{l} $.
(iii) O raio mais provável do átomo é $ r = 4 a_{0} $, onde $ a_{0} $ é o raio de Bohr.
(iv) Considerando o spin do elétron, existem 8 estados diferentes para o elétron quando $ n=2 $.

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