Considere um avião voando em linha reta de norte para sul, visto de um referencial inercial (no espaço), não sofre desvio. No entanto, para um observador na Terra, o avião parece desviar um pouco para o oeste. Qual aceleração fictícia explica esse desvio e por que ele ocorre?

Passo 1

O enunciado diz: um avião voa em linha reta no espaço (referencial inercial), direcionado de norte para sul. Para um observador na Terra (referencial que gira com a Terra) o avião parece desviar um pouco para o oeste. A pergunta é: qual aceleração fictícia explica esse desvio e por que ele ocorre?
Informações relevantes dadas: o movimento verdadeiro é retilíneo em um referencial inercial; o observador está num referencial em rotação (a Terra); a rotação da Terra é praticamente uniforme (velocidade angular constante) e o desvio observado é lateral (para oeste).

Passo 2

Conceito rápido e necessário sobre referenciais em rotação (didático, sem pular etapas): quando você descreve movimentos num referencial que está girando, as equações do movimento precisam de termos “fictícios” para representar efeitos devidos à rotação — eles não são forças reais, são correções que aparecem porque o referencial não é inercial. Os termos principais são:
\text{(i) aceleração centrífuga } \; -\boldsymbol{\Omega}\times(\boldsymbol{\Omega}\times\mathbf{r}),çãí
\text{(ii) aceleração de Coriolis } \; -2\,\boldsymbol{\Omega}\times\mathbf{v}',çã
\text{(iii) aceleração de Euler } \; -\dot{\boldsymbol{\Omega}}\times\mathbf{r}çã
onde \boldsymbol{\Omega} é o vetor velocidade angular do referencial (para a Terra, praticamente constante), \mathbf{r} é a posição no referencial rotante e \mathbf{v}' é a velocidade medida no referencial rotante. Vou explicar cada símbolo: \boldsymbol{\Omega} aponta ao longo do eixo de rotação da Terra (do sul para o norte), \mathbf{v}' é a velocidade relativa ao solo (o que o observador terrestre mede).

Passo 3

Qual desses termos pode causar um desvio lateral leste-oeste de um avião que vai de norte para sul?
  • A aceleração de Euler -\dot{\boldsymbol{\Omega}}\times\mathbf{r} depende de mudança de \boldsymbol{\Omega} no tempo; como a Terra gira com velocidade angular praticamente constante, \dot{\boldsymbol{\Omega}}\approx\mathbf{0}. Então Euler não entra.
  • A aceleração centrífuga -\boldsymbol{\Omega}\times(\boldsymbol{\Omega}\times\mathbf{r}) atua praticamente radialmente (modifica o “peso” e a vertical aparente), ou apenas inclina levemente a direção do “para baixo”. Ela não gera um desvio horizontal leste-oeste de um avião que só se desloca norte–sul (pode modificar trajetórias verticalmente ou exigir pequenas correções de rumo, mas não explica diretamente a componente oeste observada).
  • Sobram os termos de Coriolis -2\,\boldsymbol{\Omega}\times\mathbf{v}'. Esse termo é exatamente o responsável por desvios laterais para movimentos horizontais em latitude não nula. Portanto é o candidato correto.

Passo 4

Apresentando a fórmula do Coriolis com explicação das variáveis: A aceleração de Coriolis que aparece no referencial que gira com a Terra é
\mathbf{a}_{\text{C}} = -2\,\boldsymbol{\Omega}\times\mathbf{v}',
onde \boldsymbol{\Omega} é o vetor da rotação da Terra (módulo \Omega\approx 7{,}292\times10^{-5}\,\mathrm{s}^{-1}) e \mathbf{v}' é a velocidade do avião medida no referencial terrestre. O sinal e a direção vêm do produto vetorial: o resultado é perpendicular tanto a \boldsymbol{\Omega} quanto a \mathbf{v}'.

Passo 5

Agora calculemos a direção e módulo desse termo para o caso específico: avião indo de norte para sul. Definimos um sistema local (padrão usado em meteorologia e navegação):
  • \hat{e} = direção leste,
  • \hat{n} = direção norte,
  • \hat{u} = direção para cima (local vertical).
    A latitude local é \varphi (ex.: \varphi>0 no hemisfério norte). O vetor de rotação da Terra, na base local, tem componentes
\boldsymbol{\Omega} = \Omega\sin\varphi\,\hat{u} + \Omega\cos\varphi\,\hat{n}.
Por que essa decomposição? Porque em latitude \varphi a componente de \boldsymbol{\Omega} ao longo da vertical é \Omega\sin\varphi (no polo \varphi=90^\circ ela é toda vertical) e a componente ao longo do plano norte-sul é \Omega\cos\varphi. (Se \varphi=0, equador, a componente vertical é zero.)
A velocidade do avião indo para o sul é
\mathbf{v}' = -v\,\hat{n},
com v>0 o módulo da velocidade relativa ao solo. Agora fazemos o produto vetorial necessário:
\boldsymbol{\Omega}\times\mathbf{v}' = (\Omega\sin\varphi\,\hat{u} + \Omega\cos\varphi\,\hat{n})\times(-v\,\hat{n}).
A segunda parcela \hat{n}\times\hat{n} é zero, sobra apenas
\boldsymbol{\Omega}\times\mathbf{v}' = \Omega\sin\varphi\; \hat{u}\times(-v\,\hat{n}).
Usando a orientação da base (com \hat{e}\times\hat{n}=\hat{u}, etc.) encontramos \hat{u}\times\hat{n}=-\hat{e}, então
\hat{u}\times(-v\hat{n}) = v\hat{e}.
Portanto
\boldsymbol{\Omega}\times\mathbf{v}' = \Omega v\sin\varphi\;\hat{e}.
Finalmente, a aceleração de Coriolis é
\mathbf{a}_{\text{C}} = -2\,\boldsymbol{\Omega}\times\mathbf{v}' = -2\Omega v\sin\varphi\;\hat{e}.
Isto significa: direção negativa em \hat{e}, ou seja, para o oeste. O módulo é
|\mathbf{a}_{\text{C}}| = 2\Omega v\sin\varphi.

Passo 6

Interpretação física, intuição (sem fórmulas): o efeito pode ser entendido pela conservação do momento angular/velocidade tangencial em torno do eixo de rotação da Terra. O solo mais próximo do equador se move para leste mais rápido (maior velocidade tangencial) do que o solo em latitudes altas. Se um avião parte de uma latitude maior (mais ao norte) e vai para sul, ele “herda” a velocidade leste menor do ponto de partida; ao chegar mais ao sul, o solo aí tem uma velocidade leste maior, portanto o avião, que manteve sua componente leste menor, aparece “atrasado” para leste — ou seja, desloca-se para oeste relativo ao solo. No hemisfério norte isso corresponde a uma deflexão para a sua direita quando você olha para a direção do movimento; olhando para o sul, a direita é o oeste, portanto o desvio observado é para oeste. O mesmo raciocínio funciona em sentido contrário (movendo-se para norte): o desvio será para o leste.

Passo 7

Valor típico para ter uma noção de escala: com \Omega\approx 7{,}292\times10^{-5}\,\mathrm{s}^{-1}, velocidade de cruzeiro v\approx 200\,\mathrm{m/s} e latitude \varphi=45^\circ ( \sin45^\circ\approx 0{,}707), temos
|\mathbf{a}_{\text{C}}|\approx 2\cdot7{,}292\times10^{-5}\cdot200\cdot0{,}707\approx 2{,}1\times10^{-2}\,\mathrm{m/s^2},
ou seja, cerca de 2 centímetros por segundo ao quadrado — pequeno, mas suficiente para exigir correções de rumo em longos voos.

Resposta

A aceleração fictícia de Coriolis -2\,\boldsymbol{\Omega}\times\mathbf{v}', que para velocidade para o sul aponta para o oeste com módulo 2\Omega v\sin\varphi. O efeito ocorre porque o referencial terrestre gira: ao mover‑se para latitudes mais baixas o avião conserva sua componente leste de velocidade e, como o solo mais ao sul tem maior velocidade leste, o avião fica “atrasado” em relação ao solo e assim parece desviar para o oeste.

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