Considere os axiomas e propriedades de probabilidade dadas de a) ad) a seguir:
a) P[\emptyset]=0;
b) \sum_{i=1}^{n} P\left[A_{i}\right]=1, para A_{1}, \cdots, A_{n} uma partição do espaço amostral \Omega;
c) P[A] \geq 0; para A, um evento aleatório associado ao espaço amostral;
d) P[A] \leq 1; para A, um evento aleatório associado ao espaço amostral.
Considere as afirmações acerca de probabilidades abaixo. Em cada uma delas um axioma ou propriedade de probabilidade apresentados acima (letras \mathbf{a , b , c , d} ) foi violado. Indique qual dos axiomas ou propriedades dadas acima foi violada indicando entre os parênteses a letra correspondente.
( ) Não é nula a probabilidade da soma dos lados de dois dados lançados ser menor que 2;

Passo 1

O enunciado dá quatro propriedades/axiomas de probabilidade:
  • a) P[\emptyset]=0;
  • b) \sum_{i=1}^{n} P\left[A_{i}\right]=1, para A_{1},\ldots,A_{n} uma partição de \Omega;
  • c) P[A]\ge 0 para todo evento A;
  • d) P[A]\le 1 para todo evento A.
A afirmação a analisar é: “Não é nula a probabilidade da soma dos lados de dois dados lançados ser menor que 2.”
O que nos pedem: identificar qual dos axiomas/propriedades (a, b, c ou d) foi violado por essa afirmação.

Passo 2

Descrever claramente o espaço amostral e o evento em questão. Para dois dados justos lançados uma vez cada, o espaço amostral é
\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}\times\{1,2,3,4,5,6\},
isto é, todos os pares ordenados (i,j) com i o resultado do primeiro dado e j do segundo. Cada resultado possível tem soma i+j. Definimos o evento de interesse
A=\{\text{soma dos lados} < 2\}=\{(i,j)\in\Omega: i+j<2\}.

Passo 3

Mostrar que o evento A é impossível (ou seja, igual ao conjunto vazio). Qual é o menor valor possível de i+j quando i e j variam em \{1,\ldots,6\}? O menor caso é i=1 e j=1, portanto
\min_{(i,j)\in\Omega}(i+j)=1+1=2.
Logo não existe nenhum par (i,j)\in\Omega com i+j<2. Portanto
A=\varnothing.

Passo 4

Aplicar o axioma relevante: o axioma (a) afirma que
P[\varnothing]=0.
Como o evento da afirmação é o conjunto vazio, a probabilidade correta desse evento deve ser 0. A afirmação dada diz que essa probabilidade “não é nula” (ou seja, é diferente de zero), o que contradiz diretamente o axioma (a).

Resposta

(a)