Considere os axiomas e propriedades de probabilidade dadas de a) ad) a seguir:
a)
;
b)
, para
uma partição do espaço amostral
;
c)
; para
, um evento aleatório associado ao espaço amostral;
d)
; para
, um evento aleatório associado ao espaço amostral.
Considere as afirmações acerca de probabilidades abaixo. Em cada uma delas um axioma ou propriedade de probabilidade apresentados acima (letras
) foi violado. Indique qual dos axiomas ou propriedades dadas acima foi violada indicando entre os parênteses a letra correspondente.
( ) Não é nula a probabilidade da soma dos lados de dois dados lançados ser menor que 2;
a)
b)
c)
d)
( ) Não é nula a probabilidade da soma dos lados de dois dados lançados ser menor que 2;
Passo 1
O enunciado dá quatro propriedades/axiomas de probabilidade:
- a)
; - b)
, para uma partição de ; - c)
para todo evento ; - d)
para todo evento .
A afirmação a analisar é: “Não é nula a probabilidade da soma dos lados de dois dados lançados ser menor que 2.”
O que nos pedem: identificar qual dos axiomas/propriedades (a, b, c ou d) foi violado por essa afirmação.
O que nos pedem: identificar qual dos axiomas/propriedades (a, b, c ou d) foi violado por essa afirmação.
Passo 2
Descrever claramente o espaço amostral e o evento em questão. Para dois dados justos lançados uma vez cada, o espaço amostral é
isto é, todos os pares ordenados
com
o resultado do primeiro dado e
do segundo. Cada resultado possível tem soma
. Definimos o evento de interesse
Passo 3
Mostrar que o evento
é impossível (ou seja, igual ao conjunto vazio). Qual é o menor valor possível de
quando
e
variam em
? O menor caso é
e
, portanto
Logo não existe nenhum par
com
. Portanto
Passo 4
Aplicar o axioma relevante: o axioma (a) afirma que
Como o evento da afirmação é o conjunto vazio, a probabilidade correta desse evento deve ser
. A afirmação dada diz que essa probabilidade “não é nula” (ou seja, é diferente de zero), o que contradiz diretamente o axioma (a).
Resposta
(a)