Considere uma barra de aço homogênea com massa distribuída e uma massa concentrada no centro. Modele o sistema como um grau de liberdade e calcule a frequência natural de vibração.

Passo 1

O que o enunciado pede: modelar como um grau de liberdade uma barra de aço homogênea que tem massa distribuída ao longo do comprimento e, além disso, uma massa concentrada no centro; calcular a frequência natural de vibração do sistema.
Informações e hipóteses que vou usar (estou explicitando porque o enunciado não deu parâmetros numéricos nem condições de contorno; essas são hipóteses padrão para obter uma expressão fechada):
  • Comprimento da barra: \,L.
  • Área da seção transversal: \,A.
  • Módulo de Young (elasticidade): \,E.
  • Densidade linear (massa por comprimento): \mu=\rho A. Massa total da barra: \,m_b=\mu L.
  • Massa concentrada no centro: \,m.
  • Condição de contorno: as extremidades da barra em x=0 e x=L estão fixas (ou seja, o ponto central pode deslocar axialmente enquanto as extremidades são imobilizadas). Assim o movimento é axial simétrico em torno do centro.
  • Pequenas oscilações lineares (material linear elástico, sem amortecimento): podemos modelar como um SDOF com massa equivalente e rigidez equivalente.
O objetivo final: obter a frequência natural (angular \omega_n e/ou f_n em Hz) em função de E,\;A,\;L,\;m e m_b.

Passo 2

Definir a coordenada generalizada: denoto por U(t) o deslocamento axial do ponto central (onde está a massa concentrada) em relação às extremidades fixas. Por simetria, o campo de deslocamento ao longo da barra é linear em cada meia-barra. Escrevo explicitamente o campo de deslocamentos (dependendo de U):
  • Para 0\le x\le L/2:
u(x,t)=\frac{2}{L}\,x\,U(t).
  • Para L/2\le x\le L:
u(x,t)=\frac{2}{L}\,(L-x)\,U(t).
Aqui u(x,t) é o deslocamento axial em um ponto da barra, e U(t) é o deslocamento do centro. Essa escolha satisfaz u(0,t)=0,\;u(L,t)=0,\;u(L/2,t)=U(t). Expliquei isso para você: a forma é linear porque com extremidades fixas e deslocamento central pequeno a distribuição axial é triangular simétrica.

Passo 3

Calcular a massa efetiva da barra (massa modal efetiva) associada a esse modo coordenado U(t).
A energia cinética da barra é
T_{\text{barra}}=\frac{1}{2}\int_{0}^{L}\mu\left(\dot{u}(x,t)\right)^{2}\,dx,
onde \mu=\rho A é a massa por comprimento e \dot{u}=\dfrac{\partial u}{\partial t}.
Pela simetria posso integrar numa meia-barra e multiplicar por 2. Para 0\le x\le L/2 temos \dot{u}(x,t)=\dfrac{2x}{L}\,\dot{U}(t). Então
\begin{aligned} T_{\text{barra}} &= \frac{1}{2}\cdot 2\cdot\int_{0}^{L/2}\mu\left(\frac{2x}{L}\dot{U}\right)^{2}dx = \mu\frac{4\dot{U}^{2}}{L^{2}}\int_{0}^{L/2} x^{2}\,dx\\[6pt] &= \mu\frac{4\dot{U}^{2}}{L^{2}}\cdot\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{L/2} = \mu\frac{4\dot{U}^{2}}{L^{2}}\cdot\frac{(L/2)^{3}}{3} = \mu\dot{U}^{2}\cdot\frac{L}{3}. \end{aligned}
Como m_b=\mu L, isso vira
T_{\text{barra}}=\frac{1}{2}\left(\frac{m_b}{3}\right)\dot{U}^{2}.
Portanto a massa efetiva da barra para esse modo é
m_{\text{barra,eff}}=\frac{m_b}{3}.
Explanação breve: a massa distribuída não se move toda como um corpo rígido; parte dela tem velocidades menores que o ponto central, então a barra contribui apenas com um terço da sua massa para a inércia equivalente do modo central.]

Passo 4

A massa concentrada \,m no centro tem deslocamento igual a U(t), então sua energia cinética é \dfrac{1}{2}m\dot{U}^{2}. Assim a massa equivalente total do sistema (massa modal efetiva) é a soma:
m_{\text{eff}}=m + \frac{m_b}{3}.
Expliquei: para um modelo SDOF a massa efetiva é a soma da massa concentrada (inteira) mais a fração efetiva da massa distribuída.

Passo 5

Agora calcule a rigidez equivalente axial vista pelo ponto central.
Na meia-barra esquerda (0 a L/2) o alongamento (deformação axial) é constante porque u(x) é linear ali. A deformação axial é
\varepsilon=\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{2U}{L}.
Tensão axial (Lei de Hooke): \sigma=E\varepsilon = E\cdot\dfrac{2U}{L}. A força interna (esforço normal) numa meia-barra vale
N = A\sigma = A E \frac{2U}{L}.
Há duas meias-barras (esquerda e direita) que resistem ao deslocamento do ponto central; as forças de ambas se somam como força restauradora. Assim a força restauradora total sobre o ponto central é
F_{\text{rest}} = 2N = 2\left(AE\frac{2U}{L}\right)=\frac{4AE}{L}\,U.
Portanto a rigidez equivalente (constante de mola axial) vista pelo ponto central é
k=\frac{4AE}{L}.
Breve comentário: outra maneira de ver é considerar cada meia-barra como uma mola axial com rigidez k_{\text{meia}}=EA/(L/2)=2EA/L; as duas meias atuam em paralelo, então k=2k_{\text{meia}}=4EA/L.

Passo 6

Escrever a equação de movimento do SDOF (sem amortecimento):
m_{\text{eff}}\,\ddot{U}(t)+k\,U(t)=0.
A frequência natural angular é dada por
\omega_{n}=\sqrt{\frac{k}{m_{\text{eff}}}}.
Substituindo k e m_{\text{eff}}:
\omega_{n}=\sqrt{\dfrac{\,\dfrac{4AE}{L}\,}{\,m+\dfrac{m_b}{3}\,}} = \sqrt{\dfrac{4AE}{L\left(m+\dfrac{m_b}{3}\right)}}.
A frequência em hertz é
f_{n}=\frac{\omega_{n}}{2\pi} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{4AE}{L\left(m+\dfrac{m_b}{3}\right)}}.
Aqui explico as variáveis para você anotar certinho:
  • \,A é área da seção transversal da barra;
  • \,E é o módulo de Young do aço;
  • \,L é o comprimento total da barra;
  • \,m_b é a massa total da barra (distribuída), m_b=\rho A L;
  • \,m é a massa concentrada no centro;
  • \,\omega_n é a frequência natural angular (rad/s);
  • \,f_n é a frequência natural em Hz.

Passo 7

Resumo interpretativo rápido (para você levar para a prova): a barra fornece uma rigidez axial equivalente k=4AE/L porque as duas meias-barra trabalham em paralelo; a massa efetiva do sistema é a massa central mais um terço da massa distribuída da barra. A fórmula final permite calcular a frequência colocando os números de E,A,L,m,m_b que o enunciado fornecer (ou substituindo m_b=\rho A L quando souber a densidade).

Resposta

\omega_{n}=\sqrt{\dfrac{4AE}{L\left(m+\dfrac{m_b}{3}\right)}}
f_{n}=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{4AE}{L\left(m+\dfrac{m_b}{3}\right)}}