Considere uma barra de aço com \mathrm{S}_{\mathrm{ut}}=600 \mathrm{MPa} e \mathrm{S}_{\mathrm{y}}=450 \mathrm{MPa} com acabamento laminado a quente e diâmetro \mathrm{d}=32 \mathrm{~mm}. Estimar o limite de fadiga para vida infinita e o limite de fadiga para uma vida de 5 \times 10^{4} ciclos para:
Esforço axial. Temperatura ambiente.

Passo 1

O enunciado pede que eu estime dois limites de fadiga para uma barra de aço sob esforço axial à temperatura ambiente:
  • Limite de fadiga para vida infinita (ou seja, o valor de referência para vida longa, normalmente associado a 10^{6} ciclos).
  • Limite de fadiga para uma vida de 5\times10^{4} ciclos.
Dados fornecidos:
  • \mathrm{S}_{\mathrm{ut}} = 600\\ \mathrm{MPa} (resistência última à tração).
  • \mathrm{S}_{\mathrm{y}} = 450\\ \mathrm{MPa} (limite de escoamento) — dado, mas não será diretamente usado na maioria dos passos padrão.
  • Acabamento superficial: laminado a quente (hot-rolled).
  • Diâmetro: d = 32\\ \mathrm{mm}.
  • Condições: esforço axial (tração alternada axial), temperatura ambiente.
O que vou calcular (sem perguntar nada a você, usando procedimentos padrão de projeto):
  1. Estimar a resistência à fadiga de referência \mathrm{S}_{e}' (valor básico) a partir de \mathrm{S}_{ut}.
  2. Aplicar fatores de correção: fator de acabamento superficial K_a, fator de tamanho K_b, fator de carregamento K_c (por ser axial), fator de temperatura K_d (igual a 1 em temperatura ambiente), fator de confiabilidade K_e (assumo 1 por não ter especificação).
  3. Calcular o limite de fadiga modificado \mathrm{S}_{e} = K_a K_b K_c K_d K_e \mathrm{S}_{e}' (vida longa, normalmente associada a 10^{6} ciclos).
  4. Usar a lei S\propto N^{-1/m} (curva S N) com o expoente típico m=3 para aços (vida na região de interesse) para estimar o esforço admissível para 5\times10^{4} ciclos.

Passo 2

Definição do valor básico \mathrm{S}_{e}'.
Explicação curta da ideia: muitos livros (por exemplo, Shigley) adotam como ponto de partida um valor básico de resistência à fadiga (obtido de ensaio de flexão reversa) igual à metade da resistência última para aços comuns, quando \mathrm{S}_{ut} é menor que aproximadamente 1400\\ \mathrm{MPa}. Esse valor é uma aproximação empírica que serve como \mathrm{S}_{e}'.
Fórmula usada:
\mathrm{S}_{e}' = 0{,}5\\ \mathrm{S}_{ut}.
Cálculo:
\mathrm{S}_{e}' = 0{,}5 \times 600\\ \mathrm{MPa} = 300\\ \mathrm{MPa}.

Passo 3

Cálculo do fator de acabamento superficial K_a (laminado a quente).
Explicação: o acabamento superficial afeta fortemente a resistência à fadiga porque defeitos e rugosidade são iniciadores de trinca. Para diferentes tipos de acabamento existem fórmulas empíricas do tipo
K_a = a\\ (\mathrm{S}_{ut})^{b},
onde a e b dependem do tipo de acabamento. Para laminado a quente (hot-rolled) os coeficientes típicos são a = 57{,}7 e b = -0{,}718 (valores padronizados em tabelas de projeto).
Aplicando:
K_a = 57{,}7 \times (600)^{-0{,}718}.
Cálculo passo a passo:
\ln(600) \approx 6{,}39693,
-0{,}718\cdot \ln(600) \approx -4{,}5939,
(600)^{-0{,}718} = e^{-4{,}5939} \approx 0{,}01012,
K_a \approx 57{,}7 \times 0{,}01012 \approx 0{,}584.
Portanto:
K_a \approx 0{,}584.

Passo 4

Cálculo do fator de tamanho K_b.
Explicação: peças maiores tendem a ter resistência à fadiga menor por haver maior probabilidade de defeitos e por efeitos de distribuição de tensões. Para seções circulares há fórmulas empíricas para K_b em função do diâmetro d (em mm). Uma expressão usada em projetos (faixa 8\\ \mathrm{mm}<d<250\\ \mathrm{mm}) é:
K_b = 1{,}189\\ d^{-0{,}097},
com d em mm.
Aplicando com d=32\\ \mathrm{mm}:
K_b = 1{,}189 \times 32^{-0{,}097}.
Cálculo passo a passo:
\ln(32) \approx 3{,}46574,
-0{,}097\cdot \ln(32) \approx -0{,}33608,
32^{-0{,}097} = e^{-0{,}33608} \approx 0{,}7147,
K_b \approx 1{,}189 \times 0{,}7147 \approx 0{,}850.
Portanto:
K_b \approx 0{,}850.
Comentário amigo: se a peça fosse muito pequena ( <8\\ \mathrm{mm}) normalmente K_b\approx1; para barras maiores K_b decresce — aqui d=32\\ \mathrm{mm} K_b menor que 1, como esperado.

Passo 5

Fator de carregamento K_c, fator de temperatura K_d e fator de confiabilidade K_e.
Explicação:
  • K_c depende do tipo de carregamento: para flexão reversa K_c=1{,}0, para carregamento axial alternado costuma-se adotar K_c=0{,}85 (representa que carregamento axial é menos severo que flexão em termos de resistência à fadiga por unidade de tensão alternada).
  • K_d (temperatura): à temperatura ambiente K_d\approx1{,}0.
  • K_e (confiabilidade): como o enunciado não pede um nível de confiabilidade específico, uso K_e=1{,}0 (valor conservador neutro). Se fosse pedido 90% ou 99% haveria correções menores.
Portanto assumo:
K_c = 0{,}85,\qquad K_d = 1{,}0,\qquad K_e = 1{,}0.

Passo 6

Cálculo do limite de fadiga para vida longa (vida “infinita” associada a 10^{6} ciclos): \mathrm{S}_{e}.
Fórmula:
\mathrm{S}_{e} = K_a\,K_b\,K_c\,K_d\,K_e\,\mathrm{S}_{e}'.
Substituindo os valores:
\mathrm{S}_{e} = 0{,}584 \times 0{,}850 \times 0{,}85 \times 1{,}0 \times 1{,}0 \times 300\\ \mathrm{MPa}.
Cálculo passo a passo:
300 \times 0{,}584 = 175{,}2\\ \mathrm{MPa},
175{,}2 \times 0{,}850 = 148{,}92\\ \mathrm{MPa},
148{,}92 \times 0{,}85 = 126{,}582\\ \mathrm{MPa}.
Arredondando convenientemente:
\mathrm{S}_{e} \approx 127\\ \mathrm{MPa}.
Interpretação: esse é o valor aproximado do limite de fadiga para vida longa (referência associada usualmente a 10^{6} ciclos) para a barra com as condições dadas e carregamento axial.

Passo 7

Estimativa do limite de fadiga para N = 5\times10^{4} ciclos.
Explicação didática da lei S- N: na região de vida finita a relação tensão–ciclos costuma ser aproximada por uma lei de potência
S \propto N^{-1/m},
onde m é o expoente da curva. Para aços comuns, um valor típico usado em projetos é m=3 (isso significa que a tensão característica decresce com o número de ciclos conforme N^{-1/3}). Assim, se conhecemos \mathrm{S}_{e} para N_0=10^{6} ciclos, a tensão correspondente a N ciclos é
S(N) = \mathrm{S}_{e}\,\left(\frac{N}{10^{6}}\right)^{-1/m}.
Aplicando com N = 5\times10^{4} e m=3:
S(5\times10^{4}) = 126{,}582\\ \mathrm{MPa}\times\left(\frac{5\times10^{4}}{10^{6}}\right)^{-1/3}.
Calcule o fator:
\frac{5\times10^{4}}{10^{6}} = 0{,}05,
0{,}05^{-1/3} = (0{,}05)^{-0{,}3333} \approx 2{,}714.
Logo:
S(5\times10^{4}) \approx 126{,}582 \times 2{,}714 \approx 343{,}8\\ \mathrm{MPa}.
Arredondando:
S(5\times10^{4}) \approx 344\\ \mathrm{MPa}.
Pequena checagem: esse valor é menor que \mathrm{S}_{ut}=600\\ \mathrm{MPa}, o que faz sentido físico (a tensão alternada que pode ser suportada por 50k ciclos é maior que a de vida infinita, mas não pode ultrapassar a resistência última).

Passo 8

Resumo interpretativo e observações práticas (curta e motivadora):
  • A estimativa foi feita com o procedimento padrão de modificadores de Shigley: valor básico \mathrm{S}_{e}', depois multiplicado por fatores de acabamento, tamanho e carregamento.
  • Se você tivesse exigência de um nível de confiabilidade ou de condições de superfície/temperatura diferentes, o valor final mudaria (p.ex. para alta confiabilidade K_e<1, reduzindo \mathrm{S}_{e}).
  • Para a prova, memorize a sequência: obter \mathrm{S}_{e}' (normalmente 0{,}5\,\mathrm{S}_{ut}), calcular K_a pelo tipo de acabamento, K_b pelo tamanho, K_c pelo tipo de carregamento, multiplicar tudo para obter \mathrm{S}_{e}, e usar S\propto N^{-1/m} com m\approx3 para ajustar número de ciclos.

Resposta

Limite de fadiga (vida “infinita”, ~ 10^{6} ciclos): 127\\ \mathrm{MPa}
Limite de fadiga para 5\times10^{4} ciclos: 344\\ \mathrm{MPa}

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