Considere uma barra de aço com \mathrm{S}_{\mathrm{ut}}=600 \mathrm{MPa} e \mathrm{S}_{\mathrm{y}}=450 \mathrm{MPa} com acabamento laminado a quente e diâmetro \mathrm{d}=32 \mathrm{~mm}. Estimar o limite de fadiga para vida infinita e o limite de fadiga para uma vida de 5 \times 10^{4} ciclos para:
Torção pura. Temperatura ambiente.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Limite de resistência à tração: \,S_{\mathrm{ut}}=600\\ \mathrm{MPa}\,.
    • Limite de escoamento: \,S_{\mathrm{y}}=450\\ \mathrm{MPa}\,.
    • Acabamento: laminado a quente (hot-rolled).
    • Diâmetro da barra: \,d=32\\ \mathrm{mm}\,.
    • Condição: torção pura, temperatura ambiente.
  • O enunciado pede:
    1. Estimar o limite de fadiga para vida infinita (endurance limit) em torção pura.
    2. Estimar o limite de fadiga para uma vida de 5\times10^{4} ciclos em torção pura.
Observações que vou usar (sem começar a resolver ainda):
  • Para materiais ferrosos é usual começar com um valor básico de resistência à fadiga em flexão reversa (rotating bending): \,S'_e = 0,5\,S_{\mathrm{ut}}\, (válido para muitos aços com S_{\mathrm{ut}}\lesssim 1400\\ \mathrm{MPa}).
  • Esse valor é depois corrigido por fatores (acabamento superficial, tamanho, carga, temperatura, confiabilidade, etc.) para obter o limite de fadiga efetivo em flexão: \,S_e = S'_e\cdot k_a\cdot k_b\cdot k_c\cdot k_d\cdot k_e\cdot k_f\,.
  • Para converter o limite em flexão para o correspondente em cisalhamento (torção pura), vou usar a equivalência de von Mises/transformação: a amplitude de cisalhamento equivalente é \tau_e = S_e/\sqrt{3}.
  • Para obter a tensão correspondente a uma vida finita ( N=5\times10^4), vou usar uma aproximação de curva S–N (forma de Basquin) ajustando uma reta em escala log-log entre dois pontos típicos: um ponto em baixas ciclagens N_1=10^3 (onde a resistência é próxima de 0{,}9\,S_{\mathrm{ut}}) e o ponto de longa vida N_2=10^6 com S_2=S_e. Com isso obtenho o expoente de fadiga b e calculo a tensão em N=5\times10^4.
  • Vou explicitar todas as hipóteses numéricas (valores dos fatores, fórmulas) à medida que as usar.

Passo 2

Estimar o valor básico de referência \,S'_e\, (endurance limit não corrigido) para flexão reversa.
  • Regra prática bastante usada: para aços com S_{\mathrm{ut}} até cerca de 1400\\ \mathrm{MPa},
S'_e = 0{,}5\,S_{\mathrm{ut}}.
  • Substituindo \,S_{\mathrm{ut}}=600\\ \mathrm{MPa}\,:
S'_e = 0{,}5\cdot 600 = 300\\ \mathrm{MPa}.
Explicação didática curta: essa é uma aproximação empírica — muitos aços mostram, em provas padronizadas e com superfície bem polida, um limite de fadiga cerca de metade da resistência à tração.

Passo 3

Calcular os fatores de correção para obter o limite de fadiga em flexão \,S_e\,. Vou usar a notação e os fatores clássicos (Shigley / Marin): k_a (acabamento superficial), k_b (tamanho), k_c (tipo de carregamento), k_d (temperatura), k_e (confiabilidade), k_f (outros efeitos). Explico e calculo cada um.
  1. Fator de acabamento superficial k_a.
  • Fórmula empírica usada para muitos tipos de acabamento:
k_a = a\;S_{\mathrm{ut}}^{\,b},
com constantes a,b que dependem do tipo de acabamento. Para “hot-rolled” (laminado a quente) os valores tabelados (uso padrão em problemas de projeto) são aproximadamente a=57{,}7,\\ b=-0{,}718.
  • Aplicando:
k_a = 57{,}7\cdot (600)^{-0{,}718}.
Cálculo (passo a passo):
\ln k_a = \ln 57{,}7 -0{,}718\ln 600,
\ln 57{,}7 \approx 4{,}055,\quad \ln 600 \approx 6{,}397,
\ln k_a \approx 4{,}055 - 0{,}718\cdot 6{,}397 \approx 4{,}055 - 4{,}595 = -0{,}540,
k_a \approx e^{-0{,}540} \approx 0{,}583.
Breve comentário: acabamento “laminado a quente” é relativamente rugoso, por isso k_a bem menor que 1.
  1. Fator de tamanho k_b (para barras circulares sob flexão rotativa).
  • Fórmula usual para flexão (d em mm):
k_b = 1{,}189\;d^{-0{,}097}.
  • Com d=32\\ \mathrm{mm}:
k_b = 1{,}189\cdot 32^{-0{,}097}.
Cálculo:
\ln k_b = \ln 1{,}189 -0{,}097\ln 32,
\ln 1{,}189 \approx 0{,}174,\quad \ln 32 \approx 3{,}466,
\ln k_b \approx 0{,}174 -0{,}097\cdot 3{,}466 = 0{,}174 -0{,}336 = -0{,}162,
k_b \approx e^{-0{,}162} \approx 0{,}850.
Comentário: o efeito de tamanho reduz a resistência à fadiga em barras mais grossas.
  1. Fator de carregamento k_c.
  • Para flexão (rotating bending) usa-se k_c=1{,}0. (Aqui estamos obtendo primeiro o Se em flexão; depois converteremos para torção por transformação.)
  • Logo k_c = 1{,}0.
  1. Fator de temperatura k_d.
  • Temperatura ambiente: k_d = 1{,}0.
  1. Fator de confiabilidade k_e.
  • Se não especificado, adota-se um nível razoável de projeto. Um valor comum para confiabilidade de 95\% é k_e\approx 0{,}897. Vou adotar esse valor e explico: tabelas padrão dão k_e=1{,}0 (mediana), 0{,}897 (95 %) e 0{,}814 (99 %). Aqui escolhi 95 % como hipótese de projeto.
  • Assim k_e = 0{,}897.
  1. Fator de condição múltipla k_f.
  • Não há efeitos adicionais mencionados; uso k_f=1{,}0.
Agora calculo o Se corrigido em flexão:
S_e = S'_e\cdot k_a\cdot k_b\cdot k_c\cdot k_d\cdot k_e\cdot k_f.
Substituindo os números:
S_e = 300\cdot 0{,}583\cdot 0{,}850\cdot 1{,}0\cdot 1{,}0\cdot 0{,}897\cdot 1{,}0.
Cálculo passo a passo:
300\cdot 0{,}583 = 174{,}9,
174{,}9\cdot 0{,}850 = 148{,}7,
148{,}7\cdot 0{,}897 \approx 133{,}4\\ \mathrm{MPa}.
Portanto:
S_e \approx 133{,}4\\ \mathrm{MPa}\quad\text{(endurance limit em flexão, para }N\approx 10^6\text{ ciclos)}.ã

Passo 4

Converter o limite de fadiga em flexão para o correspondente em cisalhamento (torção pura) para vida “infinita”.
  • Raciocínio físico/matemático: a relação entre tensão alternada em tração-compressão \sigma_a e tensão de cisalhamento alternada \tau_a que produzem o mesmo critério de escoamento equivalente (por exemplo von Mises) é aproximadamente
\tau_a = \frac{\sigma_a}{\sqrt{3}}.
  • Assim, o limite de fadiga em cisalhamento (torção pura), para os mesmos fatores de correção, fica
\tau_{e,\infty} = \frac{S_e}{\sqrt{3}}.
  • Substituindo S_e \approx 133{,}4\\ \mathrm{MPa}:
\tau_{e,\infty} = \frac{133{,}4}{\sqrt{3}} \approx \frac{133{,}4}{1{,}732} \approx 76{,}95\\ \mathrm{MPa}.
Interpretação: esse é o valor aproximado da amplitude de tensão de cisalhamento que se espera não causar falha por fadiga para vida “infinita” (aqui tomada como N\gtrsim 10^6 ciclos) na barra de d=32\\ \mathrm{mm} com acabamento laminado a quente e as hipóteses adotadas.

Passo 5

Estimar o limite de fadiga (em torção) correspondente a vida finita de N=5\times 10^{4} ciclos.
Método e hipóteses:
  • Vou ajustar uma curva S–N (forma de Basquin) em escala log–log com dois pontos típicos:
    • Ponto 1: N_1 = 10^{3} ciclos, com tensão aproximada S_1 \approx 0{,}9\,S_{\mathrm{ut}}. Justificativa: em muitos aços a resistência à fadiga em baixas ciclagens (regime de aproximadamente centenas a milhares de ciclos) aproxima-se de uma fração alta de S_{\mathrm{ut}}; 0,9 é uma aproximação usada em exercícios didáticos.
    • Ponto 2: N_2 = 10^{6} ciclos, com S_2 = S_e (o valor que calculamos no Passo 3).
  • A forma assumida para a curva é a lei de potência (Basquin):
S(N) = A \, N^{-b},
onde A e b são obtidos dos dois pontos.
  • Depois calculo S(N=5\times 10^{4}) e converto para cisalhamento por divisão por \sqrt{3}.
Cálculo dos parâmetros:
  • Primeiro ponto:
S_1 = 0{,}9\,S_{\mathrm{ut}} = 0{,}9\cdot 600 = 540\\ \mathrm{MPa},\qquad N_1=10^{3}.
  • Segundo ponto:
S_2 = 133{,}4\\ \mathrm{MPa},\qquad N_2=10^{6}.
  • Tomando log natural e resolvendo para b:
b = \frac{\ln S_1 - \ln S_2}{\ln N_2 - \ln N_1}.
Cálculo numérico:
\ln S_1 = \ln 540 \approx 6{,}2916,\quad \ln S_2 = \ln 133{,}4 \approx 4{,}8939,
\ln N_2 = \ln 10^{6} = 13{,}8155,\quad \ln N_1 = \ln 10^{3} = 6{,}9078,
b = \frac{6{,}2916 - 4{,}8939}{13{,}8155 - 6{,}9078} = \frac{1{,}3977}{6{,}9077} \approx 0{,}2023.
Agora obtenho a constante A usando S_1 = A N_1^{-b}:
A = S_1\;N_1^{b} = 540\cdot (10^{3})^{0{,}2023}.
Cálculo:
(10^{3})^{0{,}2023} = e^{0{,}2023\ln 10^{3}} = e^{0{,}2023\cdot 6{,}9078} \approx e^{1{,}3977} \approx 4{,}044,
A \approx 540\cdot 4{,}044 \approx 2\,183{,}8.
Tensão na flexão para N=5\times 10^{4}:
S_{5\times 10^{4}} = A\;N^{-b} = 2\,183{,}8\cdot (5\times 10^{4})^{-0{,}2023}.
Cálculo:
\ln(5\times 10^{4}) = \ln 5 + \ln 10^{4} \approx 1{,}6094 + 9{,}2103 = 10{,}8197,
(5\times 10^{4})^{-0{,}2023} = e^{-0{,}2023\cdot 10{,}8197} \approx e^{-2{,}1887} \approx 0{,}1122,
S_{5\times 10^{4}} \approx 2\,183{,}8\cdot 0{,}1122 \approx 245{,}1\\ \mathrm{MPa}.
Converter para cisalhamento (torção):
\tau_{5\times 10^{4}} = \frac{S_{5\times 10^{4}}}{\sqrt{3}} \approx \frac{245{,}1}{1{,}732} \approx 141{,}4\\ \mathrm{MPa}.
Comentário sobre hipótese: nessa aproximação usamos como referência no regime de baixas ciclagens S_1=0{,}9S_{\mathrm{ut}} (valor típico em exercícios). Se se usasse outro ponto de referência (ou outra confiabilidade), o resultado mudaria; porém o procedimento e ordem de grandeza permaneceriam.

Passo 6

Resumo numérico e interpretação final (sem repetir deduções):
  • Endurance limit para vida “infinita” (a partir de N\approx 10^{6}, em torção pura, amplitude de cisalhamento):
\tau_{e,\infty} \approx 76{,}95\\ \mathrm{MPa}\\ (\approx 77{,}0\\ \mathrm{MPa}).
  • Limite de fadiga em torção para N=5\times 10^{4} ciclos (amplitude de cisalhamento estimada):
\tau_{5\times 10^{4}} \approx 141{,}4\\ \mathrm{MPa}.
Observação final e incentivo: esses números são estimativas padrão baseadas em práticas de projeto (fatores de superfície, tamanho, confiabilidade escolhida). Em prova, explique as hipóteses (fórmula de S'_e, valores de a,b para o acabamento, fórmula do tamanho, escolha de k_e, e o método Basquin para vida finita) — mostrar essas hipóteses vale muitos pontos. Você já tem aqui o passo a passo detalhado; respira fundo que dá para aplicar isso na prova!

Resposta

\tau_{e,\infty}\approx 77{,}0\\ \mathrm{MPa}
\tau_{5\times 10^{4}}\approx 141{,}4\\ \mathrm{MPa}

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