• Considere um campo magnético gerado por uma distribuição de corrente em uma determinada região. Qual é a direção deste campo sabendo-se que o potencial vetor magnético no entorno do ponto P (nessa região) tem direção “x”, e que o mesmo não varia segundo a direção “y”. Justifique.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a direção do campo magnético \mathbf{B} no ponto P, sabendo que o potencial vetor magnético no entorno de P tem direção x e não varia segundo a direção y. Informação dada, explicitada em símbolos:
\mathbf{A} = A_x(x,y,z)\,\hat{\mathbf{x}},
e temos a condição local
\frac{\partial A_x}{\partial y}=0
no entorno de P. A pergunta é: qual a direção de \mathbf{B} em P? (Não nos foi dito que A_x é independente de z ou x, apenas que não varia com y.)

Passo 2

Regra fundamental que vamos usar (essa é a definição prática que cai em prova): o campo magnético é o rotacional (curl) do potencial vetor:
\mathbf{B}=\nabla\times\mathbf{A}.
Explicando de leve: o rotacional mede a tendência de circulação do campo \mathbf{A} em torno de eixos; componentes do rotacional são combinações de derivadas parciais das componentes de \mathbf{A}. Não precisa se assustar com a palavra “rotacional” — é só uma regra de derivadas parciais bem sistemática.

Passo 3

Escrevemos o rotacional em coordenadas cartesianas usando a forma determinantal:
\nabla\times\mathbf{A}= \begin{vmatrix} \hat{\mathbf{x}} & \hat{\mathbf{y}} & \hat{\mathbf{z}}\\[4pt] \partial_x & \partial_y & \partial_z\\[4pt] A_x & A_y & A_z \end{vmatrix}.
Isto expande-se nas componentes:
\begin{aligned} B_x &= \frac{\partial A_z}{\partial y}-\frac{\partial A_y}{\partial z},\\[4pt] B_y &= \frac{\partial A_x}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial x},\\[4pt] B_z &= \frac{\partial A_y}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial y}. \end{aligned}
Aqui \partial_x é atalho para \partial/\partial x, e \hat{\mathbf{x}},\hat{\mathbf{y}},\hat{\mathbf{z}} são os versores unitários nas direções x,y,z.]

Passo 4

Agora substituímos a informação do enunciado: \mathbf{A}=A_x\hat{\mathbf{x}}, logo A_y=0 e A_z=0. Substituindo nas fórmulas das componentes:
\begin{aligned} B_x &= \frac{\partial A_z}{\partial y}-\frac{\partial A_y}{\partial z} = 0 - 0 = 0,\\[6pt] B_y &= \frac{\partial A_x}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial x} = \frac{\partial A_x}{\partial z}-0 = \frac{\partial A_x}{\partial z},\\[6pt] B_z &= \frac{\partial A_y}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial y} = 0 - \frac{\partial A_x}{\partial y}. \end{aligned}
Agora usamos a condição extra do enunciado: \dfrac{\partial A_x}{\partial y}=0 no entorno de P. Assim
B_z = -\frac{\partial A_x}{\partial y} = 0.]

Passo 5

Com as simplificações acima obtemos, no ponto P (e no entorno),
\mathbf{B} = B_x\,\hat{\mathbf{x}} + B_y\,\hat{\mathbf{y}} + B_z\,\hat{\mathbf{z}} = 0\cdot\hat{\mathbf{x}} + \frac{\partial A_x}{\partial z}\,\hat{\mathbf{y}} + 0\cdot\hat{\mathbf{z}}.
Portanto \mathbf{B} tem apenas componente na direção y. O sentido (para +\hat{\mathbf{y}} ou para -\hat{\mathbf{y}}) depende do sinal de \dfrac{\partial A_x}{\partial z}: se essa derivada for positiva, \mathbf{B} aponta para +\hat{\mathbf{y}}; se for negativa, aponta para -\hat{\mathbf{y}}. Observação útil para prova: se também valesse \dfrac{\partial A_x}{\partial z}=0, então \mathbf{B}=0 (campo nulo).

Passo 6

Interpretação física e intuição rápida (para lembrar na prova): como \mathbf{A} só aponta em x e não muda quando andamos em y, a única variação espacial que pode gerar circulação de \mathbf{A} (e, portanto, \mathbf{B}) é na direção z; essa circulação aparece como componente em y pelo formato do rotacional (lembre da regra da mão direita / determinante). Exemplo simples: se A_x = k z com k constante, então \partial A_x/\partial z = k e \mathbf{B}=k\,\hat{\mathbf{y}} (campo uniforme na direção y) — experimente imaginar isso para fixar a ideia.

Resposta

\displaystyle \mathbf{B}=\frac{\partial A_x}{\partial z}\,\hat{\mathbf{y}} (logo a direção de \mathbf{B} é ao longo de \hat{\mathbf{y}}; o sentido depende do sinal de \dfrac{\partial A_x}{\partial z}).

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