Considere um campo magnético gerado por uma distribuição de corrente em uma determinada região. Qual é a direção deste campo sabendo-se que o potencial vetor magnético no entorno do ponto P (nessa região) tem direção “x”, e que o mesmo não varia segundo a direção “y”. Justifique.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a direção do campo magnético \mathbf{B} no ponto P, sabendo que o potencial vetor magnético no entorno de P tem direção x e não varia segundo a direção y. Informação dada, explicitada em símbolos:
\mathbf{A} = A_x(x,y,z)\,\hat{\mathbf{x}},
e temos a condição local
\frac{\partial A_x}{\partial y}=0
no entorno de P. A pergunta é: qual a direção de \mathbf{B} em P? (Não nos foi dito que A_x é independente de z ou x, apenas que não varia com y.)
Passo 2
Regra fundamental que vamos usar (essa é a definição prática que cai em prova): o campo magnético é o rotacional (curl) do potencial vetor:
\mathbf{B}=\nabla\times\mathbf{A}.
Explicando de leve: o rotacional mede a tendência de circulação do campo \mathbf{A} em torno de eixos; componentes do rotacional são combinações de derivadas parciais das componentes de \mathbf{A}. Não precisa se assustar com a palavra “rotacional” — é só uma regra de derivadas parciais bem sistemática.
Passo 3
Escrevemos o rotacional em coordenadas cartesianas usando a forma determinantal:
Portanto \mathbf{B} tem apenas componente na direção y. O sentido (para +\hat{\mathbf{y}} ou para -\hat{\mathbf{y}}) depende do sinal de \dfrac{\partial A_x}{\partial z}: se essa derivada for positiva, \mathbf{B} aponta para +\hat{\mathbf{y}}; se for negativa, aponta para -\hat{\mathbf{y}}. Observação útil para prova: se também valesse \dfrac{\partial A_x}{\partial z}=0, então \mathbf{B}=0 (campo nulo).
Passo 6
Interpretação física e intuição rápida (para lembrar na prova): como \mathbf{A} só aponta em x e não muda quando andamos em y, a única variação espacial que pode gerar circulação de \mathbf{A} (e, portanto, \mathbf{B}) é na direção z; essa circulação aparece como componente em y pelo formato do rotacional (lembre da regra da mão direita / determinante). Exemplo simples: se A_x = k z com k constante, então \partial A_x/\partial z = k e \mathbf{B}=k\,\hat{\mathbf{y}} (campo uniforme na direção y) — experimente imaginar isso para fixar a ideia.
Resposta
\displaystyle \mathbf{B}=\frac{\partial A_x}{\partial z}\,\hat{\mathbf{y}} (logo a direção de \mathbf{B} é ao longo de \hat{\mathbf{y}}; o sentido depende do sinal de \dfrac{\partial A_x}{\partial z}).