Considere o campo vetorial
no plano.
b) Encontre uma função potencial.
b) Encontre uma função potencial.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um campo vetorial dado por
. O que o exercício está pedindo para a gente fazer é encontrar uma função potencial para esse campo. Isso significa que queremos achar uma função
tal que suas derivadas parciais em relação a
e
nos deem os componentes do campo
. Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de cálculo, mais especificamente integração de funções de várias variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que se existe uma função potencial
para o campo vetorial
, então:
Começamos integrando a primeira equação em relação a
para encontrar
:
Integrando termo a termo:
Aqui,
é uma função que depende somente de
e aparece porque, ao integrar em relação a
, as constantes de integração podem depender de
.
Passo 3
Agora, para encontrar
, vamos usar a segunda equação que envolve a derivada parcial de
em relação a
:
Sabendo que
, calculamos a derivada parcial:
Igualando às duas expressões para
:
Percebemos que
se cancela dos dois lados, ficando:
Agora, integramos
em relação a
para encontrar
:
Onde
é a constante de integração. Como estamos procurando apenas uma função potencial qualquer, podemos descartar a constante.
Passo 4
Com
encontrada, substituímos de volta na expressão de
:
Resposta
A função potencial é: