(1,5) Considere o campo vetorial F(x, y)=-e^cos y i+x senye e^cos y j. Calcule ointgamma F cdot d r onde gamma é a elipse 25 x^2+4 y^2=100.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de linha do campo vetorial ao longo de uma elipse definida por . Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o Teorema de Green, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região delimitada por essa curva. A fórmula é:
ointgamma F cdot dr = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA
Onde .

Passo 3

Identificando P = -e^cos y Q = x sen(y) e^cos y e no nosso campo vetorial:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias.

Passo 4

Calculando partial Qpartial x = partialpartial x ( x sen(y) e^cos y ) = sen(y) e^cos y :

Passo 5

Calculando partial Ppartial y = partialpartial y ( -e^cos y ) = -(-sen(y) e^cos y) = sen(y) e^cos y :

Passo 6

Substituindo essas derivadas na fórmula do Teorema de Green:

Passo 7

Como a expressão dentro da integral dupla é zero, a integral sobre a região integral duplaD 0 , dA = 0 também será zero:

Resposta

Portanto, .

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