Considere o campo vetorial
. Calcule
onde
é a elipse
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de linha do campo vetorial ao longo de uma elipse definida por
. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o Teorema de Green, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região delimitada por essa curva. A fórmula é:
Onde
.
Passo 3
Identificando
e
no nosso campo vetorial:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias.
Passo 4
Calculando
:
Passo 5
Calculando
:
Passo 6
Substituindo essas derivadas na fórmula do Teorema de Green:
Passo 7
Como a expressão dentro da integral dupla é zero, a integral sobre a região
também será zero:
Resposta
Portanto,
.