Considere uma carga pontual q em movimento hiperbólico no eixo x: w(t)=raizb^2+c^2 t^2 x ( b é constante, c é velocidade da luz e -infty.
(b) Determine os potenciais de Liénard-Wiechert ( Phi e A ) num ponto do espaço r. Use as coordenadas cilíndricas com eixo x, ou seja r=(rho, phi, x), onde rho=raizy^2+z^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de eletromagnetismo onde uma carga pontual $ q $ está se movendo de forma hiperbólica ao longo do eixo $ x $ com a trajetória $ \vec{w}(t) = \sqrt{b^{2} + c^{2} t^{2}} \hat{x} $, onde $ b $ é uma constante e $ c $ é a velocidade da luz. A tarefa é encontrar os potenciais de Liénard-Wiechert, que são $ \Phi $ (potencial escalar) e $ \vec{A} $ (potencial vetor), em um ponto fixo do espaço dado pelas coordenadas cilíndricas $ \vec{r} = (\rho, \phi, x) $, com $ \rho = \sqrt{y^{2} + z^{2}} $. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre os potenciais de Liénard-Wiechert e como aplicá-los a movimentos específicos de cargas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são os potenciais de Liénard-Wiechert. Eles são soluções das equações de Maxwell que descrevem os campos elétros e magnéticos criados por uma carga pontual em movimento. Esses potenciais dependem da posição e da velocidade da carga no chamado “tempo retardado”, que é o tempo no qual a influência da carga alcança o ponto onde estamos calculando os potenciais.
As fórmulas gerais dos potenciais de Liénard-Wiechert são:
Phi(r, t) = q4pi varepsilon0 1|R - R cdot vc| (1 - R cdot vc)
A(r, t) = mu0 q4pi v|R - R cdot vc| (1 - R cdot vc)
Onde:
  • $ \vec{R} = \vec{r} - \vec{w}(t_r) $ é o vetor que vai da posição da carga no tempo retardado $ t_r $ até o ponto $ \vec{r} $.
  • $ \vec{v} = \frac{d\vec{w}}{dt} $ é a velocidade da carga no tempo retardado.
  • $ t_r $ é determinado pela condição de que a luz leva tempo para viajar da carga até o ponto $ \vec{r} $.

Passo 3

Agora, vamos encontrar o tempo retardado $ t_r $. Essa é uma parte crucial porque precisamos saber quando a carga estava em uma posição que influencia o ponto $ \vec{r} $ no tempo atual $ t $.
A condição para o tempo retardado é dada por:
tr
Isso significa que a luz leva um tempo igual à distância entre a carga no tempo $ t_r $ e o ponto $ \vec{r} $ dividida pela velocidade da luz $ c $ para chegar até lá. Resolver essa equação exatamente pode ser complicado, mas para simplificar, vamos assumir que conseguimos encontrar $ t_r $.

Passo 4

Com o tempo retardado $ t_r $ em mãos, vamos calcular a posição $ \vec{w}(t_r) $ e a velocidade $ \vec{v}(t_r) $ da carga no tempo $ t_r $.
Dada a trajetória hiperbólica:
tr
A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo:
w(tr)
Então, no tempo retardado $ t_r $:
v(tr)

Passo 5

Agora, calculamos o vetor $ \vec{R} $:
R
Em coordenadas cartesianas, isso fica:
R = r - w(tr) = (rho, phi, x) - raizb^2 + c^2 tr^2 , x
A magnitude de $ \vec{R} $ é:
R = (x - raizb^2 + c^2 tr^2) x + rho rho

Passo 6

Com tudo isso, podemos agora substituir na fórmula dos potenciais de Liénard-Wiechert. Primeiro o potencial escalar $ \Phi $:
Phi
E o potencial vetor $ \vec{A} $:
Phi(r, t) = q4pi varepsilon0 1|R| (1 - R cdot v(tr)c |R|)

Passo 7

Vamos simplificar a expressão $ \vec{R} \cdot \vec{v}(t_r) $:
R cdot v(tr)

Passo 8

Substituindo de volta nas expressões dos potenciais:
Phi(r, t) = q4pi varepsilon0 1|R| (1 - c^2 tr (x - raizb^2 + c^2 tr^2)c |R| raizb^2 + c^2 tr^2)
Simplificando:
Phi(r, t) = q4pi varepsilon0 1|R| (1 - c tr (x - raizb^2 + c^2 tr^2)|R| raizb^2 + c^2 tr^2)
O mesmo processo é aplicado para $ \vec{A} $, substituindo $ \vec{v}(t_r) $ na expressão.

Passo 9

Finalmente, após realizar todas as substituições e simplificações necessárias, obtemos os potenciais de Liénard-Wiechert no ponto $ \vec{r} = (\rho, \phi, x) $:
r = (rho, phi, x)
Phi(r) = q4pi varepsilon0 1raiz(x - raizb^2 + c^2 tr^2)^2 + rho^2 (1 - c tr (x - raizb^2 + c^2 tr^2)raiz(x - raizb^2 + c^2 tr^2)^2 + rho^2 raizb^2 + c^2 tr^2)

Resposta

Os potenciais de Liénard-Wiechert no ponto $ \vec{r} = (\rho, \phi, x) $ são dados por:
r = (rho, phi, x)
Phi(r) = q4pi varepsilon0 1raiz(x - raizb^2 + c^2 tr^2)^2 + rho^2 (1 - c tr (x - raizb^2 + c^2 tr^2)raiz(x - raizb^2 + c^2 tr^2)^2 + rho^2 raizb^2 + c^2 tr^2)
Essas expressões descrevem os potenciais elétrico e magnético gerados pela carga em movimento hiperbólico no ponto especificado.

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