Considere uma carga pontual
em movimento hiperbólico no eixo
(
é constante,
é velocidade da luz e
.
(b) Determine os potenciais de Liénard-Wiechert (
e
) num ponto do espaço
. Use as coordenadas cilíndricas com eixo
, ou seja
, onde
.
(b) Determine os potenciais de Liénard-Wiechert (
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de eletromagnetismo onde uma carga pontual $ q $ está se movendo de forma hiperbólica ao longo do eixo $ x $ com a trajetória $ \vec{w}(t) = \sqrt{b^{2} + c^{2} t^{2}} \hat{x} $, onde $ b $ é uma constante e $ c $ é a velocidade da luz. A tarefa é encontrar os potenciais de Liénard-Wiechert, que são $ \Phi $ (potencial escalar) e $ \vec{A} $ (potencial vetor), em um ponto fixo do espaço dado pelas coordenadas cilíndricas $ \vec{r} = (\rho, \phi, x) $, com $ \rho = \sqrt{y^{2} + z^{2}} $. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre os potenciais de Liénard-Wiechert e como aplicá-los a movimentos específicos de cargas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são os potenciais de Liénard-Wiechert. Eles são soluções das equações de Maxwell que descrevem os campos elétros e magnéticos criados por uma carga pontual em movimento. Esses potenciais dependem da posição e da velocidade da carga no chamado “tempo retardado”, que é o tempo no qual a influência da carga alcança o ponto onde estamos calculando os potenciais.
As fórmulas gerais dos potenciais de Liénard-Wiechert são:
Onde:
- $ \vec{R} = \vec{r} - \vec{w}(t_r) $ é o vetor que vai da posição da carga no tempo retardado $ t_r $ até o ponto $ \vec{r} $.
- $ \vec{v} = \frac{d\vec{w}}{dt} $ é a velocidade da carga no tempo retardado.
- $ t_r $ é determinado pela condição de que a luz leva tempo para viajar da carga até o ponto $ \vec{r} $.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o tempo retardado $ t_r $. Essa é uma parte crucial porque precisamos saber quando a carga estava em uma posição que influencia o ponto $ \vec{r} $ no tempo atual $ t $.
A condição para o tempo retardado é dada por:
Isso significa que a luz leva um tempo igual à distância entre a carga no tempo $ t_r $ e o ponto $ \vec{r} $ dividida pela velocidade da luz $ c $ para chegar até lá. Resolver essa equação exatamente pode ser complicado, mas para simplificar, vamos assumir que conseguimos encontrar $ t_r $.
Passo 4
Com o tempo retardado $ t_r $ em mãos, vamos calcular a posição $ \vec{w}(t_r) $ e a velocidade $ \vec{v}(t_r) $ da carga no tempo $ t_r $.
Dada a trajetória hiperbólica:
A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo:
Então, no tempo retardado $ t_r $:
Passo 5
Agora, calculamos o vetor $ \vec{R} $:
Em coordenadas cartesianas, isso fica:
A magnitude de $ \vec{R} $ é:
Passo 6
Com tudo isso, podemos agora substituir na fórmula dos potenciais de Liénard-Wiechert. Primeiro o potencial escalar $ \Phi $:
E o potencial vetor $ \vec{A} $:
Passo 7
Vamos simplificar a expressão $ \vec{R} \cdot \vec{v}(t_r) $:
Passo 8
Substituindo de volta nas expressões dos potenciais:
Simplificando:
O mesmo processo é aplicado para $ \vec{A} $, substituindo $ \vec{v}(t_r) $ na expressão.
Passo 9
Finalmente, após realizar todas as substituições e simplificações necessárias, obtemos os potenciais de Liénard-Wiechert no ponto $ \vec{r} = (\rho, \phi, x) $:
Resposta
Os potenciais de Liénard-Wiechert no ponto $ \vec{r} = (\rho, \phi, x) $ são dados por:
Essas expressões descrevem os potenciais elétrico e magnético gerados pela carga em movimento hiperbólico no ponto especificado.