Considere um circuito com um Resistor ®, um Indutor (L) e um Capacitor (C) em série. A Lei de Kirchhoff para as tensões nos diz que
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A Linguagem do Circuito: Escreva as tensões em cada componente em termos da carga
no capacitor e da corrente
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A Linguagem do Circuito: Escreva as tensões em cada componente em termos da carga
Passo 1
O enunciado pede que escrevamos as tensões nos três elementos do circuito RLC série em termos da carga
do capacitor e da corrente
. As informações dadas são:
e a Lei de Kirchhoff para tensões que vale neste circuito:
Passo 2
Entendendo as grandezas:
é a carga no capacitor em coulombs,
é a corrente em ampères. A relação entre elas é a definição de corrente elétrica:
Isso significa que corrente é a taxa de variação da carga no tempo. Unidade:
.
Passo 3
Explicando
: a lei do capacitor relaciona carga e tensão. A definição do capacitor é
, onde
(em farads) é a capacitância. Isolando
obtemos
Aqui
é função do tempo, então
.
Passo 4
Explicando
: isso é a Lei de Ohm para um resistor.
(em ohms) multiplica a corrente
para dar a queda de tensão no resistor:
Mostramos explicitamente
para escrever tudo em termos de
.
Passo 5
Explicando
: para um indutor, a tensão induzida é proporcional à taxa de variação da corrente.
(em henry) é a indutância. Matemáticamente:
Como
, então
logo
Passo 6
Agora substituímos as expressões das tensões na Lei de Kirchhoff:
torna-se, usando os resultados anteriores,
Expliquei antes o significado de cada termo: o primeiro vem do indutor (inércia magnética), o segundo do resistor (dissipação), o terceiro do capacitor (armazenamento elétrico).
Passo 7
Podemos deixar a equação em forma padrão (dividindo por
) para evidenciar coeficientes adimensionais:
Aqui
é o termo de amortecimento (taxa de decaimento) e
está ligado à frequência natural do circuito. Essa equação é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes; na prova você poderá classificá-la (subamortecido, criticamente amortecido ou sobreamortecido) analisando o discriminante
.