Considere um circuito com um Resistor ®, um Indutor (L) e um Capacitor (C) em série. A Lei de Kirchhoff para as tensões nos diz que V_{L}+V_{R}+V_{C}=0.
A Linguagem do Circuito: Escreva as tensões em cada componente em termos da carga q(t) no capacitor e da corrente i(t)=d q / d t :
  • V_{C}=q / C
  • V_{R}=R i=R(d q / d t)
  • V_{L}=L(d i / d t)=L\left(d^{2} q / d t^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede que escrevamos as tensões nos três elementos do circuito RLC série em termos da carga q(t) do capacitor e da corrente i(t). As informações dadas são:
V_{C}=\frac{q}{C},
V_{R}=R\,i=R\frac{dq}{dt},
V_{L}=L\frac{di}{dt}=L\frac{d^{2}q}{dt^{2}},
e a Lei de Kirchhoff para tensões que vale neste circuito:
V_{L}+V_{R}+V_{C}=0.

Passo 2

Entendendo as grandezas: q(t) é a carga no capacitor em coulombs, i(t) é a corrente em ampères. A relação entre elas é a definição de corrente elétrica:
i(t)=\frac{dq}{dt}.
Isso significa que corrente é a taxa de variação da carga no tempo. Unidade: \mathrm{A}=\mathrm{C}/\mathrm{s}.

Passo 3

Explicando V_{C}=\dfrac{q}{C}: a lei do capacitor relaciona carga e tensão. A definição do capacitor é q=C V_{C}, onde C (em farads) é a capacitância. Isolando V_{C} obtemos
V_{C}=\frac{q}{C}.
Aqui q é função do tempo, então V_{C}(t)=\dfrac{q(t)}{C}.

Passo 4

Explicando V_{R}=R\,i: isso é a Lei de Ohm para um resistor. R (em ohms) multiplica a corrente i para dar a queda de tensão no resistor:
V_{R}=R\,i=R\frac{dq}{dt}.
Mostramos explicitamente i=\dfrac{dq}{dt} para escrever tudo em termos de q.

Passo 5

Explicando V_{L}=L\frac{di}{dt}: para um indutor, a tensão induzida é proporcional à taxa de variação da corrente. L (em henry) é a indutância. Matemáticamente:
V_{L}=L\frac{di}{dt}.
Como i=\dfrac{dq}{dt}, então
\frac{di}{dt}=\frac{d}{dt}\left(\frac{dq}{dt}\right)=\frac{d^{2}q}{dt^{2}},
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V_{L}=L\frac{d^{2}q}{dt^{2}}.

Passo 6

Agora substituímos as expressões das tensões na Lei de Kirchhoff:
V_{L}+V_{R}+V_{C}=0
torna-se, usando os resultados anteriores,
L\frac{d^{2}q}{dt^{2}}+R\frac{dq}{dt}+\frac{q}{C}=0.
Expliquei antes o significado de cada termo: o primeiro vem do indutor (inércia magnética), o segundo do resistor (dissipação), o terceiro do capacitor (armazenamento elétrico).

Passo 7

Podemos deixar a equação em forma padrão (dividindo por L) para evidenciar coeficientes adimensionais:
\frac{d^{2}q}{dt^{2}}+\frac{R}{L}\frac{dq}{dt}+\frac{1}{LC}q=0.
Aqui \dfrac{R}{L} é o termo de amortecimento (taxa de decaimento) e \dfrac{1}{LC} está ligado à frequência natural do circuito. Essa equação é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes; na prova você poderá classificá-la (subamortecido, criticamente amortecido ou sobreamortecido) analisando o discriminante \left(\dfrac{R}{L}\right)^{2}-4\cdot\dfrac{1}{LC}.

Resposta

L\frac{d^{2}q}{dt^{2}}+R\frac{dq}{dt}+\frac{q}{C}=0.