Considere um circuito RLC série para o qual a FT é apresentada abaixo;
G(s)=\frac{E_{o}(s)}{E_{i}(s)}=\frac{1}{s^{2} L C+s R C+1}
Com os seguintes valores:
\mathrm{L}=2 \mathrm{e}-3
\mathrm{C}=20 \mathrm{e}-6
\mathrm{R}=8
Gere um script no MATLAB que:
a) gere a resposta no tempo para um degrau de 5 V na entrada, para um tempo de 10 ms de simulação

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado pede e quais dados foram fornecidos.
  • O enunciado pede: gerar um script no MATLAB que gere a resposta no tempo para um degrau de 5\\ \text{V} na entrada, simulando por 10\\ \text{ms}.
  • Dados fornecidos:
    • L = 2\times 10^{-3}\\ \text{H}.
    • C = 20\times 10^{-6}\\ \text{F}.
    • R = 8\\ \Omega.
  • A função de transferência dada é: G(s)=\frac{E_{o}(s)}{E_{i}(s)}=\frac{1}{s^{2} L C+s R C+1}.
  • Objetivo prático: construir no MATLAB a TF numérica com os valores acima e obter a resposta ao degrau de amplitude 5\\ \text{V} para tempo total de simulação T_{\text{sim}}=10\\ \text{ms}.

Passo 2

Entendendo a TF e os parâmetros numéricos (passo didático curto e obrigatório).
  • A TF em termos de coeficientes polinomiais tem numerador 1 e denominador com coeficientes \big[ L C,\; R C,\; 1\big]. Ou seja, numericamente: \text{num} = [1], \qquad \text{den} = [L C,\; R C,\; 1].
  • Calculemos os produtos (usar estes valores no MATLAB também): L C = \bigl(2\times10^{-3}\bigr)\bigl(20\times10^{-6}\bigr)=4\times10^{-8},
R C = 8\cdot 20\times10^{-6}=1{,}6\times10^{-4}.
  • É útil conhecer a forma padrão de um segundo-ordem para interpretar a resposta: \text{denominator} = L C\,s^{2}+R C\,s+1 \quad\Longrightarrow\quad s^{2}+\frac{R}{L}s+\frac{1}{L C}.Assim a frequência natural é \omega_{n}=\sqrt{\frac{1}{L C}}=\frac{1}{\sqrt{L C}}=\frac{1}{2\times10^{-4}}=5000\\ \text{rad/s},e a razão de amortecimento é 2\zeta\omega_{n}=\frac{R}{L}\quad\Longrightarrow\quad \zeta=\frac{R}{2 L \omega_{n}}.Calculando: \frac{R}{L}=\frac{8}{2\times10^{-3}}=4000, \qquad \zeta=\frac{4000}{2\cdot5000}=0{,}4.Como \zeta=0{,}4<1, o sistema é subamortecido: a resposta ao degrau será oscilatória com amortecimento (exponencial decrescente) — isso explica o comportamento que se verá no gráfico.

Passo 3

Escolha do método de simulação no MATLAB (por que e como).
  • Método simples e direto: usar a função Control System Toolbox tf para construir a TF e step para obter a resposta ao degrau. A função step por padrão calcula a resposta a um degrau unitário; para um degrau de 5\\ \text{V} basta multiplicar a TF por 5 ou multiplicar a resposta por 5.
  • Alternativa (equivalente): usar lsim com um vetor de entrada u(t)=5 constantes; eu uso step(G*5,t) por ser curto e direto.
  • Escolha do vetor de tempo: o enunciado pede T_{\text{sim}}=10\\ \text{ms}. Para capturar bem a oscilação com \omega_{n}=5000\\ \text{rad/s} (frequência aproximadamente f_n=\omega_n/(2\pi)\approx 795\\ \text{Hz}), um passo de tempo \Delta t em torno de 1\times10^{-5} a 1\times10^{-6} s é adequado. Vou usar \Delta t = 1\times10^{-5} s (isto dá 1001 pontos em 10\\ \text{ms}), que é suficiente para um gráfico nítido e não muito pesado.

Passo 4

Explicação linha a linha do que o script MATLAB fará (didática para aplicar na prova ou prática).
  • Primeiro definimos os valores numéricos L,\;C,\;R com os dados do enunciado.
  • Em seguida calculamos os coeficientes do denominador [L C,\;R C,\;1].
  • Construímos a TF com tf(num,den); tf recebe vetores de coeficientes em ordem decrescente de potência de s.
  • Definimos o vetor de tempo t = 0:dt:Tsim;.
  • Chamamos step(G*5,t) para obter a resposta ao degrau de 5\\ \text{V}.
  • Plotamos com rótulos e grade; adicionamos título e leve formatação para leitura.

Passo 5

Observações práticas e verificação rápida (como checar estabilidade/polos no MATLAB).
  • Para verificar os polos (e confirmar \zeta e comportamento), no MATLAB pode-se usar p = pole(G) e damp(G) para obter polos e damping/frequência natural. Com os números dados espera-se polos complexos conjugados com parte real negativa (sistema estável e subamortecido).
  • Se preferir usar lsim em vez de step, criar u = 5*ones(size(t)); y = lsim(G,u,t); e plotar t vs y.

Resposta

% Script MATLAB para resposta ao degrau de 5 V em um RLC série
% Dados do problema
L = 2e-3; % H
C = 20e-6; % F
R = 8; % ohm
% Coeficientes da função de transferência G(s) = 1/(LCs^2 + RCs + 1)
num = 1;
den = [LC, RC, 1];
% Criar a função de transferência
G = tf(num, den);
% Parâmetros de simulação
Tsim = 10e-3; % tempo total de simulação: 10 ms
dt = 1e-5; % passo de tempo (ajustável)
t = 0:dt:Tsim;
% Resposta ao degrau de amplitude 5 V
Amp = 5; % amplitude do degrau (V)
[y, tt] = step(G*Amp, t); % passo com amplitude
% Plotar resultado
figure;
plot(tt*1e3, y, ‘LineWidth’, 1.5); % eixo em ms
grid on;
xlabel(‘Tempo (ms)’);
ylabel(‘Saída E_o (V)’);
title(‘Resposta ao degrau de 5 V do circuito RLC série’);
% opcional: mostrar polos e damping no console
p = pole(G);
disp(‘Polos do sistema:’);
disp§;
damp(G);

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