Considere um circuito RLC série para o qual a FT é apresentada abaixo;
G(s)=\frac{E_{o}(s)}{E_{i}(s)}=\frac{1}{s^{2} L C+s R C+1}
Com os seguintes valores:
\mathrm{L}=2 \mathrm{e}-3
\mathrm{C}=20 \mathrm{e}-6
\mathrm{R}=8
Gere um script no MATLAB que:
b) gere a resposta no tempo para uma rampo Vi = t na entrada, para um tempo de 10 ms de simulação.

Passo 1

O enunciado pede que eu gere um script em MATLAB que calcule a resposta no tempo de um circuito RLC série descrito pela função de transferência
G(s)=\frac{E_{o}(s)}{E_{i}(s)}=\frac{1}{s^{2}LC + sRC + 1},
quando a entrada é uma rampa \,v_i(t)=t, simulando por 10\\ \text{ms}.
As informações numéricas dadas são:
  • L = 2\times 10^{-3}\\ \text{H}.
  • C = 20\times 10^{-6}\\ \text{F}.
  • R = 8\\ \Omega.
O que se espera do script: montar o sistema linear correspondente a G(s), gerar a entrada u(t)=t (rampa) no intervalo de tempo 0 a 10\\ \text{ms} e simular a saída e_o(t) usando uma rotina adequada do MATLAB (por exemplo lsim) e plotar o resultado.

Passo 2

Qual é a ideia física/matemática por trás da simulação?
  • A rampa v_i(t)=t tem transformada de Laplace
V_i(s)=\frac{1}{s^{2}}.
  • No domínio de Laplace a saída é
E_o(s)=G(s)\,V_i(s)=\frac{1}{s^{2}}\cdot\frac{1}{s^{2}LC + sRC + 1}.
  • Podemos obter a resposta no tempo fazendo a transformada inversa de Laplace analiticamente, mas na prática para simulação numérica no MATLAB é muito mais simples montar a função de transferência G(s) no domínio do tempo e aplicar a entrada u(t)=t com uma função de simulação no tempo (por exemplo lsim). Isso evita manipulações algébricas pesadas e dá o sinal numérico diretamente.

Passo 3

Cálculo das constantes numéricas que aparecem no denominador de G(s).
Vamos calcular os coeficientes do polinômio do denominador \,LC\,s^{2} + RC\,s + 1.
  • \,L C = \left(2\times10^{-3}\right)\left(20\times10^{-6}\right) = 40\times10^{-9} = 4{,}0\times10^{-8}.
  • \,R C = 8\cdot\left(20\times10^{-6}\right) = 160\times10^{-6} = 1{,}6\times10^{-4}.
Portanto o denominador numérico é
\left[\,4{,}0\times10^{-8},\; 1{,}6\times10^{-4},\; 1\,\right].

Passo 4

Qual rotina do MATLAB usar e por quê?
  • tf(num,den) cria um modelo de função de transferência contínua a partir dos polinômios do numerador e denominador. Aqui o numerador de G(s) é 1 (escala unitária).
  • lsim(sys,u,t) simula a resposta no tempo de um sistema linear a uma entrada arbitrária u(t) definida no vetor de tempos t. É ideal quando a entrada é uma rampa (ou qualquer forma não-padrão).
  • Alternativas: poderia converter para espaço de estados e usar lsim também, ou integrar a EDO com ode45 montando as equações do circuito. Mas tf + lsim é direto e suficiente.

Passo 5

Escolhas práticas para o script:
  • Tempo de simulação: t_{\text{end}} = 10\\ \text{ms} = 0{,}01\\ \text{s}.
  • Resolução temporal: escolher um vetor de tempos bem denso, por exemplo 10001 pontos (passo \Delta t = 1\\ \mu\text{s}), para um traçado suave: t = \text{linspace}(0,\,0{,}01,\,10001).
  • Entrada: \;u(t)=t\; (vetor igual ao vetor de tempos).
  • Plot: converter o eixo tempo para \text{ms} na exibição é prático (multiplicar por 1000).

Passo 6

Explicação passo a passo do que cada linha do script faz (para você entender e poder reproduzir na prova):
  • Definir L, C, R com os valores dados.
  • Calcular os coeficientes \,L*C e \,R*C para montar o vetor den.
  • Criar o sistema com sys = tf(1, den); onde o numerador é 1.
  • Gerar o vetor de tempo t de 0 a 0{,}01 segundos com resolução desejada.
  • Definir a entrada u = t; (rampa).
  • Simular a resposta com y = lsim(sys, u, t);.
  • Plotar y versus t*1e3 (tempo em ms) e rotular o gráfico.
Agora, abaixo está o script pronto para rodar no MATLAB. Copie e cole tal como está no MATLAB para gerar a resposta no tempo solicitada.

Resposta

% Script MATLAB para simular a resposta do RLC série à entrada rampa v_i(t)=t
% Simulação por 10 ms
% Parâmetros do circuito (valores dados)
L = 2e-3; % H
C = 20e-6; % F
R = 8; % Ohm
% Coeficientes do denominador: LCs^2 + RCs + 1
den = [LC, RC, 1];
% Numerador de G(s) = 1
num = 1;
% Criar sistema de função de transferência
sys = tf(num, den);
% Vetor tempo: 0 a 10 ms com boa resolução
t_end = 0.01; % segundos (10 ms)
t = linspace(0, t_end, 10001); % 10001 pontos
% Entrada rampa v_i(t) = t
u = t;
% Simular resposta no tempo
y = lsim(sys, u, t);
% Plot
figure;
plot(t*1e3, y, ‘LineWidth’, 1.5);
xlabel(‘Tempo (ms)’);
ylabel(‘E_o(t)’);
title(‘Resposta do RLC série à entrada rampa v_i(t)=t (0–10 ms)’);
grid on;

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