Considere um conjunto de 10 variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas (i.i.d.) seguindo a distribuição \mathrm{U}(0,1). Sabendo que \mathrm{Y}_{1}=\min \left(\mathrm{X}_{1}, \ldots, \mathrm{X}_{10}\right) e \mathrm{Y}_{10}=\max \left(\mathrm{X}_{1}, \ldots, \mathrm{X}_{10}\right) representam, respectivamente, o mínimo e o máximo dessa amostra, determine:
A função de distribuição acumulada e a função densidade de probabilidade do mínimo;

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede explicitamente o que segue:
  • Temos 10 variáveis aleatórias \mathrm{X}_{1},\ldots,\mathrm{X}_{10} i.i.d. com distribuição \mathrm{U}(0,1).
  • Foi definida \mathrm{Y}_{1}=\min(\mathrm{X}_{1},\ldots,\mathrm{X}_{10}) (o mínimo da amostra) e \mathrm{Y}_{10}=\max(\mathrm{X}_{1},\ldots,\mathrm{X}_{10}) (o máximo).
  • O que devemos determinar:
    1. a função de distribuição acumulada (CDF) de \mathrm{Y}_{1};
    2. a função densidade de probabilidade (PDF) de \mathrm{Y}_{1}.
Informações úteis que o enunciado fornece (vou listar para não perder nada): cada \mathrm{X}_i tem suporte [0,1] e, para x em [0,1],
F_X(x)=\Pr(\mathrm{X}_i\le x)=x,
f_X(x)=\Pr(\mathrm{X}_i\in dx)=1.

Passo 2

Definição do que é a CDF do mínimo e transformação por complemento — ideia principal (sem cálculo ainda): para qualquer y,
F_{\mathrm{Y}_1}(y)=\Pr\big(\mathrm{Y}_1\le y\big).
Mas é mais simples trabalhar com o complementar \Pr(\mathrm{Y}_1>y): o evento \{\mathrm{Y}_1>y\} significa que todos os \mathrm{X}_i são maiores que y. Ou seja,
\Pr(\mathrm{Y}_1>y)=\Pr(\mathrm{X}_1>y,\ldots,\mathrm{X}_{10}>y).
Vou usar essa igualdade e a independência das \mathrm{X}_i para escrever \Pr(\mathrm{Y}_1\le y).

Passo 3

Aplicando independência e a relação entre CDF e probabilidade complementar:
Pela independência,
\Pr(\mathrm{X}_1>y,\ldots,\mathrm{X}_{10}>y)=\prod_{i=1}^{10}\Pr(\mathrm{X}_i>y)=\big(\Pr(\mathrm{X}_1>y)\big)^{10}.
Agora, para uma \mathrm{X}_i\sim\mathrm{U}(0,1) e y\in[0,1], temos
\Pr(\mathrm{X}_i>y)=1-\Pr(\mathrm{X}_i\le y)=1-y.
Logo, para y\in[0,1],
\Pr(\mathrm{Y}_1>y)=(1-y)^{10}.

Passo 4

Obtenção da CDF do mínimo a partir do complementar:
F_{\mathrm{Y}_1}(y)=\Pr(\mathrm{Y}_1\le y)=1-\Pr(\mathrm{Y}_1>y)=1-(1-y)^{10}, \qquad \text{para }y\in[0,1].
Também é importante explicitar o que acontece fora de [0,1]: Como cada \mathrm{X}_i só assume valores em [0,1], temos
F_{\mathrm{Y}_1}(y)=0\quad\text{se }y<0, \qquad F_{\mathrm{Y}_1}(y)=1\quad\text{se }y\ge 1.

Passo 5

Para obter a PDF, derivamos a CDF em y (dentro do suporte). Vou fazer a diferenciação passo a passo. Para y\in(0,1),
F_{\mathrm{Y}_1}(y)=1-(1-y)^{10}.
Derivando em relação a y:
f_{\mathrm{Y}_1}(y)=\frac{d}{dy}F_{\mathrm{Y}_1}(y) =\frac{d}{dy}\big[1-(1-y)^{10}\big].
Usando a regra de potência e cadeia: \dfrac{d}{dy}(1-y)^{10}=10(1-y)^{9}\cdot\dfrac{d}{dy}(1-y)=10(1-y)^{9}\cdot(-1)=-10(1-y)^{9}. Assim,
f_{\mathrm{Y}_1}(y)= -\big(-10(1-y)^{9}\big)=10(1-y)^{9}.

Passo 6

Explicitando domínio e valores fora do suporte:
  • Para y\in[0,1],
f_{\mathrm{Y}_1}(y)=10(1-y)^{9}.
  • Para y\notin[0,1], temos f_{\mathrm{Y}_1}(y)=0.
Vou fazer uma checagem rápida para ganhar confiança: integrar f_{\mathrm{Y}_1} em [0,1]:
\int_{0}^{1}10(1-y)^{9}\,dy =10\left[-\frac{(1-y)^{10}}{10}\right]_{0}^{1} = -\big[(1-1)^{10}-(1-0)^{10}\big]=1,
portanto a densidade é normalizada corretamente.

Resposta

F_{\mathrm{Y}_1}(y)= \begin{cases} 0, & y<0,\\[4pt] 1-(1-y)^{10}, & 0\le y<1,\\[4pt] 1, & y\ge 1, \end{cases}
f_{\mathrm{Y}_1}(y)= \begin{cases} 10(1-y)^{9}, & 0\le y\le 1,\\[4pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}á]

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