Considere um conjunto de 10 variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas (i.i.d.) seguindo a distribuição
. Sabendo que
e
representam, respectivamente, o mínimo e o máximo dessa amostra, determine:
A função de distribuição acumulada e a função densidade de probabilidade do mínimo;
A função de distribuição acumulada e a função densidade de probabilidade do mínimo;
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede explicitamente o que segue:
- Temos
variáveis aleatórias i.i.d. com distribuição . - Foi definida
(o mínimo da amostra) e (o máximo). - O que devemos determinar:
- a função de distribuição acumulada (CDF) de
; - a função densidade de probabilidade (PDF) de
.
- a função de distribuição acumulada (CDF) de
Informações úteis que o enunciado fornece (vou listar para não perder nada): cada
tem suporte
e, para
em
,
Passo 2
Definição do que é a CDF do mínimo e transformação por complemento — ideia principal (sem cálculo ainda): para qualquer
,
Mas é mais simples trabalhar com o complementar
: o evento
significa que todos os
são maiores que
. Ou seja,
Vou usar essa igualdade e a independência das
para escrever
.
Passo 3
Aplicando independência e a relação entre CDF e probabilidade complementar:
Pela independência,
Pela independência,
Agora, para uma
e
, temos
Logo, para
,
Passo 4
Obtenção da CDF do mínimo a partir do complementar:
Também é importante explicitar o que acontece fora de
: Como cada
só assume valores em
, temos
Passo 5
Para obter a PDF, derivamos a CDF em
(dentro do suporte). Vou fazer a diferenciação passo a passo. Para
,
Derivando em relação a
:
Usando a regra de potência e cadeia:
. Assim,
Passo 6
Explicitando domínio e valores fora do suporte:
- Para
,
- Para
, temos .
Vou fazer uma checagem rápida para ganhar confiança: integrar
em
:
portanto a densidade é normalizada corretamente.