Considere os conjuntos A, B, C tais que: •n(A - (B U C)) = 10 •n(B - (A U C))= 20 •n(C - (A U B))= 32 •n(A U B U C) = 100 Então (A ∩ B) U (A ∩ C) U (B ∩ C) é igual a:
a) 22
b) 38
c) 62
d) 68
e) 70
a) 22
b) 38
c) 62
d) 68
e) 70
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre conjuntos A, B e C. A questão envolve entender as diferenças e intersecções entre esses conjuntos e usar algumas fórmulas básicas de teoria dos conjuntos. Precisamos calcular a união das intersecções entre os pares desses conjuntos usando as informações fornecidas sobre o número de elementos em cada parte específica.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que cada notação significa:
- $ n(A - (B \cup C)) = 10 $: Isso quer dizer que há 10 elementos que estão em A, mas não estão nem em B nem em C.
- $ n(B - (A \cup C)) = 20 $: Existem 20 elementos em B que não estão nem em A nem em C.
- $ n(C - (A \cup B)) = 32 $: Há 32 elementos em C que não estão nem em A nem em B.
- $ n(A \cup B \cup C) = 100 $: O total de elementos que estão em A, B ou C é 100.
Passo 3
Nosso objetivo é encontrar $ n((A \cap B) \cup (A \cap C) \cup (B \cap C)) $. Para isso, vamos usar a fórmula da inclusão-exclusão para três conjuntos:
Mas queremos isolar $ n((A \cap B) \cup (A \cap C) \cup (B \cap C)) $, que é basicamente $ n(A \cap B) + n(A \cap C) + n(B \cap C) - 2n(A \cap B \cap C) $.
Passo 4
Para facilitar, vamos chamar $ x = n(A \cap B) $, $ y = n(A \cap C) $, $ z = n(B \cap C) $ e $ w = n(A \cap B \cap C) $.
A fórmula da inclusão-exclusão fica:
Mas ainda não sabemos os valores individuais de $ n(A) $, $ n(B) $ e $ n© $. Precisamos expressá-los usando as informações dadas.
Passo 5
Sabemos que:
Passo 6
Substituindo $ n(A) $, $ n(B) $ e $ n© $ na equação da união:
Simplificando:
Passo 7
Agora, isolamos os termos:
Passo 8
Nosso objetivo é encontrar $ (A \cap B) \cup (A \cap C) \cup (B \cap C) $, que é $ x + y + z - 2w = 38 $.
Resposta
38