Considere os conjuntos A, B, C tais que: •n(A - (B U C)) = 10 •n(B - (A U C))= 20 •n(C - (A U B))= 32 •n(A U B U C) = 100 Então (A ∩ B) U (A ∩ C) U (B ∩ C) é igual a:
a) 22
b) 38
c) 62
d) 68
e) 70

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre conjuntos A, B e C. A questão envolve entender as diferenças e intersecções entre esses conjuntos e usar algumas fórmulas básicas de teoria dos conjuntos. Precisamos calcular a união das intersecções entre os pares desses conjuntos usando as informações fornecidas sobre o número de elementos em cada parte específica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada notação significa:
  • $ n(A - (B \cup C)) = 10 $: Isso quer dizer que há 10 elementos que estão em A, mas não estão nem em B nem em C.
  • $ n(B - (A \cup C)) = 20 $: Existem 20 elementos em B que não estão nem em A nem em C.
  • $ n(C - (A \cup B)) = 32 $: Há 32 elementos em C que não estão nem em A nem em B.
  • $ n(A \cup B \cup C) = 100 $: O total de elementos que estão em A, B ou C é 100.

Passo 3

Nosso objetivo é encontrar $ n((A \cap B) \cup (A \cap C) \cup (B \cap C)) $. Para isso, vamos usar a fórmula da inclusão-exclusão para três conjuntos:
n((A cap B) cup (A cap C) cup (B cap C))
Mas queremos isolar $ n((A \cap B) \cup (A \cap C) \cup (B \cap C)) $, que é basicamente $ n(A \cap B) + n(A \cap C) + n(B \cap C) - 2n(A \cap B \cap C) $.

Passo 4

Para facilitar, vamos chamar $ x = n(A \cap B) $, $ y = n(A \cap C) $, $ z = n(B \cap C) $ e $ w = n(A \cap B \cap C) $.
A fórmula da inclusão-exclusão fica:
x = n(A cap B)
Mas ainda não sabemos os valores individuais de $ n(A) $, $ n(B) $ e $ n© $. Precisamos expressá-los usando as informações dadas.

Passo 5

Sabemos que:
n(A) = n(A - (B cup C)) + n(A cap B) + n(A cap C) - n(A cap B cap C) = 10 + x + y - w
n(B) = n(B - (A cup C)) + n(A cap B) + n(B cap C) - n(A cap B cap C) = 20 + x + z - w
n(C) = n(C - (A cup B)) + n(A cap C) + n(B cap C) - n(A cap B cap C) = 32 + y + z - w

Passo 6

Substituindo $ n(A) $, $ n(B) $ e $ n© $ na equação da união:
n(A)
Simplificando:
n(B)
n(C)

Passo 7

Agora, isolamos os termos:
x + y + z - 2w = 100 - 62
x + y + z - 2w = 38

Passo 8

Nosso objetivo é encontrar $ (A \cap B) \cup (A \cap C) \cup (B \cap C) $, que é $ x + y + z - 2w = 38 $.

Resposta

38

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