Considere uma constante escalar c. um campo escalar \varphi(x, y, z) e um campo vetorial \vec{A}(x, y, z). Determine as seguintes expressōes:
o divergente do rotacional do campo vetorial \vec{A}: \vec{\nabla} \cdot(\vec{\nabla} \wedge \vec{A});

Passo 1

O enunciado dá:
  • Uma constante escalar c (não será usada aqui).
  • Um campo escalar \varphi(x,y,z) (não será usado aqui).
  • Um campo vetorial \vec{A}(x,y,z).
O que é pedido:
  • Determinar o divergente do rotacional de \vec{A}, ou seja calcular \vec{\nabla}\cdot(\vec{\nabla}\wedge\vec{A}).
Observação importante (condição necessária): para poder trocar a ordem de derivação mista que será usada na prova, assume-se que as componentes de \vec{A} têm derivadas parciais segundas contínuas (ou seja, são de classe C^2). Sem essa hipótese a igualdade abaixo pode falhar.

Passo 2

Definições básicas (vamos mastigar bem):
  • O operador nabla \vec{\nabla} em coordenadas cartesianas é \vec{\nabla} = \left(\dfrac{\partial}{\partial x},\dfrac{\partial}{\partial y},\dfrac{\partial}{\partial z}\right).
  • O divergente de um campo vetorial \vec{F}=(F_x,F_y,F_z) é a função escalar
\vec{\nabla}\cdot\vec{F} = \dfrac{\partial F_x}{\partial x}+\dfrac{\partial F_y}{\partial y}+\dfrac{\partial F_z}{\partial z}.
  • O rotacional (curl) de \vec{A}=(A_x,A_y,A_z) é o vetor cujas componentes são diferenças de derivadas parciais:
\vec{\nabla}\wedge\vec{A}= \left( \dfrac{\partial A_z}{\partial y}-\dfrac{\partial A_y}{\partial z},\; \dfrac{\partial A_x}{\partial z}-\dfrac{\partial A_z}{\partial x},\; \dfrac{\partial A_y}{\partial x}-\dfrac{\partial A_x}{\partial y} \right).

Passo 3

Escrevendo explicitamente as componentes do rotacional (peguei as fórmulas acima):
(\vec{\nabla}\wedge\vec{A})_x=\dfrac{\partial A_z}{\partial y}-\dfrac{\partial A_y}{\partial z},
(\vec{\nabla}\wedge\vec{A})_y=\dfrac{\partial A_x}{\partial z}-\dfrac{\partial A_z}{\partial x},
(\vec{\nabla}\wedge\vec{A})_z=\dfrac{\partial A_y}{\partial x}-\dfrac{\partial A_x}{\partial y}.

Passo 4

Agora calculamos o divergente desse rotacional aplicando a definição da divergente (ou seja, somando as derivadas parciais das três componentes):
\vec{\nabla}\cdot(\vec{\nabla}\wedge\vec{A}) = \dfrac{\partial}{\partial x}\!\left(\dfrac{\partial A_z}{\partial y}-\dfrac{\partial A_y}{\partial z}\right) + \dfrac{\partial}{\partial y}\!\left(\dfrac{\partial A_x}{\partial z}-\dfrac{\partial A_z}{\partial x}\right) + \dfrac{\partial}{\partial z}\!\left(\dfrac{\partial A_y}{\partial x}-\dfrac{\partial A_x}{\partial y}\right).

Passo 5

Expandindo os termos e organizando:
\vec{\nabla}\cdot(\vec{\nabla}\wedge\vec{A}) = \underbrace{\dfrac{\partial^2 A_z}{\partial x\partial y}}_{(1)} -\underbrace{\dfrac{\partial^2 A_y}{\partial x\partial z}}_{(2)} +\underbrace{\dfrac{\partial^2 A_x}{\partial y\partial z}}_{(3)} -\underbrace{\dfrac{\partial^2 A_z}{\partial y\partial x}}_{(4)} +\underbrace{\dfrac{\partial^2 A_y}{\partial z\partial x}}_{(5)} -\underbrace{\dfrac{\partial^2 A_x}{\partial z\partial y}}_{(6)}.
Agora observe os pares que se cancelam se as derivadas mistas comutam (hipótese C^2):
  • O termo (1) é \dfrac{\partial^2 A_z}{\partial x\partial y} e o termo (4) é \dfrac{\partial^2 A_z}{\partial y\partial x}; pela comutatividade \dfrac{\partial^2 A_z}{\partial x\partial y}=\dfrac{\partial^2 A_z}{\partial y\partial x}, logo (1)-(4)=0.
  • O termo (2) é \dfrac{\partial^2 A_y}{\partial x\partial z} e o termo (5) é \dfrac{\partial^2 A_y}{\partial z\partial x}; têm sinais opostos na soma e pela comutatividade (5)-(2)=0.
  • O termo (3) é \dfrac{\partial^2 A_x}{\partial y\partial z} e o termo (6) é \dfrac{\partial^2 A_x}{\partial z\partial y}; pela comutatividade (3)-(6)=0.
Somando todos os seis termos obtém-se zero.

Passo 6

Conclusão e interpretação rápida: portanto, sob a hipótese natural de regularidade ( \text{componentes de }\vec{A}\in C^2), vale a identidade
\vec{\nabla}\cdot(\vec{\nabla}\wedge\vec{A})=0.
Intuição física (curta): o rotacional mede circulação local (vorticidade) e não tem “fontes” ou “sumidouros” — por isso seu divergente é nulo.

Resposta

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