Considere uma constante escalar c. um campo escalar \varphi(x, y, z) e um campo vetorial \vec{A}(x, y, z). Determine as seguintes expressōes:
o divergente do rotacional do campo vetorial \vec{A}: \vec{\nabla} \cdot(\vec{\nabla} \wedge \vec{A});
Passo 1
O enunciado dá:
Uma constante escalar c (não será usada aqui).
Um campo escalar \varphi(x,y,z) (não será usado aqui).
Um campo vetorial \vec{A}(x,y,z).
O que é pedido:
Determinar o divergente do rotacional de \vec{A}, ou seja calcular \vec{\nabla}\cdot(\vec{\nabla}\wedge\vec{A}).
Observação importante (condição necessária): para poder trocar a ordem de derivação mista que será usada na prova, assume-se que as componentes de \vec{A} têm derivadas parciais segundas contínuas (ou seja, são de classe C^2). Sem essa hipótese a igualdade abaixo pode falhar.
Passo 2
Definições básicas (vamos mastigar bem):
O operador nabla \vec{\nabla} em coordenadas cartesianas é \vec{\nabla} = \left(\dfrac{\partial}{\partial x},\dfrac{\partial}{\partial y},\dfrac{\partial}{\partial z}\right).
O divergente de um campo vetorial \vec{F}=(F_x,F_y,F_z) é a função escalar
Agora observe os pares que se cancelam se as derivadas mistas comutam (hipótese C^2):
O termo (1) é \dfrac{\partial^2 A_z}{\partial x\partial y} e o termo (4) é \dfrac{\partial^2 A_z}{\partial y\partial x}; pela comutatividade \dfrac{\partial^2 A_z}{\partial x\partial y}=\dfrac{\partial^2 A_z}{\partial y\partial x}, logo (1)-(4)=0.
O termo (2) é \dfrac{\partial^2 A_y}{\partial x\partial z} e o termo (5) é \dfrac{\partial^2 A_y}{\partial z\partial x}; têm sinais opostos na soma e pela comutatividade (5)-(2)=0.
O termo (3) é \dfrac{\partial^2 A_x}{\partial y\partial z} e o termo (6) é \dfrac{\partial^2 A_x}{\partial z\partial y}; pela comutatividade (3)-(6)=0.
Somando todos os seis termos obtém-se zero.
Passo 6
Conclusão e interpretação rápida: portanto, sob a hipótese natural de regularidade (\text{componentes de }\vec{A}\in C^2), vale a identidade
\vec{\nabla}\cdot(\vec{\nabla}\wedge\vec{A})=0.
Intuição física (curta): o rotacional mede circulação local (vorticidade) e não tem “fontes” ou “sumidouros” — por isso seu divergente é nulo.