Considere os dados de crescimento celular de uma bactéria durante cultivo em batelada, utilizando glicerol como substrato limitante em uma concentração inicial \mathrm{C}_{\mathrm{SO}_{0}}=18,5 \mathrm{~g} / \mathrm{L}.
\mathrm{t}(\mathrm{h}) \mathrm{Cx}(\mathrm{g} / \mathrm{L})
0 0,5
3 1,5
6 2,4
9 3,7
12 5,4
15 7,9
18 9,6
21 10,5
Obtenha o perfil de concentração de substrato ( \mathrm{C}_{\mathrm{S}} ) em função do tempo de cultivo, sabendo que o coeficiente de rendimento observado de substrato em células é \mathrm{Y}_{\mathrm{x} / \mathrm{s}}= 0,55 \mathrm{~g} / \mathrm{g} s.

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados fornecidos (peguei estes números do enunciado):
  • Pede: obter o perfil da concentração de substrato C_{S}(t) em função do tempo para o cultivo em batelada.
  • Dados fornecidos:
    • Concentração inicial de substrato: C_{S0}=18,5\\ \mathrm{g}/\mathrm{L}.
    • Rendimento observado: Y_{x/s}=0,55\\ \mathrm{g\;biomassa}/\mathrm{g\;substrato}.
    • Concentração de biomassa ao longo do tempo (tabela):
      • t=0\\ \mathrm{h}:\\ C_x=0,5\\ \mathrm{g}/\mathrm{L}
      • t=3\\ \mathrm{h}:\\ C_x=1,5\\ \mathrm{g}/\mathrm{L}
      • t=6\\ \mathrm{h}:\\ C_x=2,4\\ \mathrm{g}/\mathrm{L}
      • t=9\\ \mathrm{h}:\\ C_x=3,7\\ \mathrm{g}/\mathrm{L}
      • t=12\\ \mathrm{h}:\\ C_x=5,4\\ \mathrm{g}/\mathrm{L}
      • t=15\\ \mathrm{h}:\\ C_x=7,9\\ \mathrm{g}/\mathrm{L}
      • t=18\\ \mathrm{h}:\\ C_x=9,6\\ \mathrm{g}/\mathrm{L}
      • t=21\\ \mathrm{h}:\\ C_x=10,5\\ \mathrm{g}/\mathrm{L}
Objetivo concreto: calcular C_{S}(t) em cada tempo da tabela usando o rendimento observado Y_{x/s}.

Passo 2

Entendendo o conceito de rendimento e a relação entre substrato consumido e biomassa formada
  • O rendimento observado Y_{x/s} é definido como a quantidade de biomassa formada por unidade de substrato consumido. Em termos de variação: Y_{x/s}=\frac{\Delta C_x}{-\Delta C_s}.Aqui usei a convenção de que \Delta C_x=C_x(t)-C_{x0} e \Delta C_s=C_s(t)-C_{S0}. O sinal negativo aparece porque a concentração de substrato diminui ( \Delta C_s é negativa) enquanto a biomassa aumenta ( \Delta C_x é positiva).
  • Isolando \Delta C_s: \Delta C_s = -\frac{\Delta C_x}{Y_{x/s}}.
  • Assim, a concentração de substrato em qualquer tempo t é: C_S(t)=C_{S0}+\Delta C_s = C_{S0} - \frac{C_x(t)-C_{x0}}{Y_{x/s}}.Onde:
    • C_{S0} é a concentração inicial de substrato ( 18,5\\ \mathrm{g}/\mathrm{L}),
    • C_{x0} é a concentração inicial de biomassa ( 0,5\\ \mathrm{g}/\mathrm{L}),
    • C_x(t) é a biomassa no tempo t,
    • Y_{x/s}=0,55\\ \mathrm{g/g}.
Explicação em linguagem simples: para cada grama de biomassa nova, foi consumida 1/Y_{x/s} grama de substrato. Portanto basta subtrair do substrato inicial a fração consumida proporcional ao ganho de biomassa.

Passo 3

Preparando para calcular sem calculadora (truque para divisão)
  • Note que Y_{x/s}=0,55. Em forma fracionária \,0,55=\dfrac{55}{100}=\dfrac{11}{20}. Então \frac{1}{Y_{x/s}}=\frac{1}{0,55}=\frac{20}{11}\approx1,818\ldots
  • Isso facilita as contas: para obter o substrato consumido por um dado \Delta C_x, multiplicar \Delta C_x por \dfrac{20}{11}.

Passo 4

Cálculo passo a passo para t=0 e t=3 (exemplos bem mastigados)
  • Para t=0:
    C_x(0)=C_{x0}=0,5\\ \mathrm{g}/\mathrm{L}\quad\Rightarrow\quad C_S(0)=C_{S0}-\frac{0,5-0,5}{0,55}=C_{S0}=18,5\\ \mathrm{g}/\mathrm{L}.
    (Nenhuma biomassa nova, nenhum substrato consumido.)
  • Para t=3:
    \Delta C_x = C_x(3)-C_{x0}=1,5-0,5=1,0\\ \mathrm{g}/\mathrm{L}.
    Substrato consumido:
    \frac{\Delta C_x}{Y_{x/s}}=1,0\cdot\frac{1}{0,55}=1,0\cdot\frac{20}{11}=\frac{20}{11}\approx1,818\ldots\\ \mathrm{g}/\mathrm{L}.
    Logo
    C_S(3)=18,5-1,0\cdot\frac{20}{11}=18,5-\frac{20}{11}\approx18,5-1,818=16,682\\ \mathrm{g}/\mathrm{L}.
    Arredondei para três casas decimais por clareza (nas provas normalmente 2–3 casas estão ok).

Passo 5

Cálculo para os demais tempos (mesma metodologia; mostro \Delta C_x, substrato consumido e C_S)
Usando \dfrac{1}{Y_{x/s}}=\dfrac{20}{11}:
  • t=6: \Delta C_x=2,4-0,5=1,9\\ \mathrm{g}/\mathrm{L}, \quad \frac{\Delta C_x}{Y_{x/s}}=1,9\cdot\frac{20}{11}=\frac{38}{11}\approx3,4545,
C_S(6)=18,5-\frac{38}{11}\approx15,045\\ \mathrm{g}/\mathrm{L}.
  • t=9: \Delta C_x=3,7-0,5=3,2, \quad \frac{\Delta C_x}{Y_{x/s}}=3,2\cdot\frac{20}{11}=\frac{64}{11}\approx5,8182,
C_S(9)=18,5-\frac{64}{11}\approx12,682\\ \mathrm{g}/\mathrm{L}.
  • t=12: \Delta C_x=5,4-0,5=4,9, \quad \frac{\Delta C_x}{Y_{x/s}}=4,9\cdot\frac{20}{11}=\frac{98}{11}\approx8,9091,
C_S(12)=18,5-\frac{98}{11}\approx9,591\\ \mathrm{g}/\mathrm{L}.
  • t=15: \Delta C_x=7,9-0,5=7,4, \quad \frac{\Delta C_x}{Y_{x/s}}=7,4\cdot\frac{20}{11}=\frac{148}{11}\approx13,4545,
C_S(15)=18,5-\frac{148}{11}\approx5,045\\ \mathrm{g}/\mathrm{L}.
  • t=18: \Delta C_x=9,6-0,5=9,1, \quad \frac{\Delta C_x}{Y_{x/s}}=9,1\cdot\frac{20}{11}=\frac{182}{11}\approx16,5455,
C_S(18)=18,5-\frac{182}{11}\approx1,955\\ \mathrm{g}/\mathrm{L}.
  • t=21: \Delta C_x=10,5-0,5=10,0, \quad \frac{\Delta C_x}{Y_{x/s}}=10,0\cdot\frac{20}{11}=\frac{200}{11}\approx18,1818,
C_S(21)=18,5-\frac{200}{11}\approx0,318\\ \mathrm{g}/\mathrm{L}.
Nos cálculos acima arredondei os resultados de C_S para três casas decimais para facilitar leitura. Se necessário, pode-se manter mais casas.

Passo 6

Tabela resumo (tempo — biomassa — substrato calculado)
  • t=0\\ \mathrm{h}:\\ C_x=0,5\\ \mathrm{g}/\mathrm{L}\quad\Rightarrow\quad C_S=18,500\\ \mathrm{g}/\mathrm{L}
  • t=3\\ \mathrm{h}:\\ C_x=1,5\\ \mathrm{g}/\mathrm{L}\quad\Rightarrow\quad C_S\approx16,682\\ \mathrm{g}/\mathrm{L}
  • t=6\\ \mathrm{h}:\\ C_x=2,4\\ \mathrm{g}/\mathrm{L}\quad\Rightarrow\quad C_S\approx15,045\\ \mathrm{g}/\mathrm{L}
  • t=9\\ \mathrm{h}:\\ C_x=3,7\\ \mathrm{g}/\mathrm{L}\quad\Rightarrow\quad C_S\approx12,682\\ \mathrm{g}/\mathrm{L}
  • t=12\\ \mathrm{h}:\\ C_x=5,4\\ \mathrm{g}/\mathrm{L}\quad\Rightarrow\quad C_S\approx9,591\\ \mathrm{g}/\mathrm{L}
  • t=15\\ \mathrm{h}:\\ C_x=7,9\\ \mathrm{g}/\mathrm{L}\quad\Rightarrow\quad C_S\approx5,045\\ \mathrm{g}/\mathrm{L}
  • t=18\\ \mathrm{h}:\\ C_x=9,6\\ \mathrm{g}/\mathrm{L}\quad\Rightarrow\quad C_S\approx1,955\\ \mathrm{g}/\mathrm{L}
  • t=21\\ \mathrm{h}:\\ C_x=10,5\\ \mathrm{g}/\mathrm{L}\quad\Rightarrow\quad C_S\approx0,318\\ \mathrm{g}/\mathrm{L}

Passo 7

Observações finais e checagem de consistência (dicas rápidas para a prova)
  • A fórmula usada é bastante padrão para batelada quando o substrato é consumido principalmente para formar biomassa e não há adição nem consumo por manutenção significativo.
  • Se algum C_S(t) ficasse negativo, seria sinal de que o substrato foi totalmente consumido antes daquele tempo (esgotamento) — nesse caso seria preciso considerar limitação e parada do crescimento. Aqui, no último ponto t=21\\ \mathrm{h}, ainda resta pouco substrato ( \approx0,318\\ \mathrm{g}/\mathrm{L}).
  • Para calcular sem calculadora: transformar Y_{x/s}=0,55 em fração \tfrac{11}{20} e multiplicar por \tfrac{20}{11} quando precisar do inverso.

Resposta

t=0\\ \mathrm{h}:\\ C_S=18,500\\ \mathrm{g}/\mathrm{L}
t=3\\ \mathrm{h}:\\ C_S\approx16,682\\ \mathrm{g}/\mathrm{L}
t=6\\ \mathrm{h}:\\ C_S\approx15,045\\ \mathrm{g}/\mathrm{L}
t=9\\ \mathrm{h}:\\ C_S\approx12,682\\ \mathrm{g}/\mathrm{L}
t=12\\ \mathrm{h}:\\ C_S\approx9,591\\ \mathrm{g}/\mathrm{L}
t=15\\ \mathrm{h}:\\ C_S\approx5,045\\ \mathrm{g}/\mathrm{L}
t=18\\ \mathrm{h}:\\ C_S\approx1,955\\ \mathrm{g}/\mathrm{L}
t=21\\ \mathrm{h}:\\ C_S\approx0,318\\ \mathrm{g}/\mathrm{L}

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