Considere dados os valores de L (int) e A (float). A partir de um quadrado de lado L, uma sequência infinita de quadrados pode ser construída onde a medida do lado de cada novo quadrado é sempre a metade da medida do lado do quadrado anterior. Calcular o número de quadrados necessários na sequência até que se obtenha um quadrado com área menor do que A.

Passo 1

O enunciado pede pra gente contar quantos quadrados geramos a partir de um de lado L, cada novo tendo lado metade do anterior, até que a área fique menor que A. O conteúdo é de sequência geométrica (tanto de lados quanto de áreas) e vamos precisar usar definição de área de quadrado e resolver uma desigualdade exponencial com logaritmo.

Passo 2

Para ver como a área decresce, note que o k-ésimo quadrado tem lado
sk = L2^,k-1
e, portanto, área
Ak = sk^2 = L^24^,k-1

Passo 3

Queremos encontrar o menor índice k tal que
Ak < A Longrightarrow L^24^,k-1 < A
Vamos transformar isso numa desigualdade em potências de 4:

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por 4^,k-1 e dividindo por A, obtemos
4^,k-1 > L^2A
Agora aplicamos logaritmo na base 4 para isolar o expoente:

Passo 5

Como log4 é crescente, temos
$$k-1 > \log_4\Bigl(\tfrac{L^2}{A}\Bigr).
k-1 > log4l(tfracL^2Ar) ék-1 = \Bigl\lfloor\log_4\Bigl(\tfrac{L^2}{A}\Bigr)\Bigr\rfloor + 1,
$$
e portanto o número de quadrados necessários é

Passo 6

Por fim, somando 1 dos dois lados, o índice mínimo k é dado por
$$k = \Bigl\lfloor\log_4\Bigl(\tfrac{L^2}{A}\Bigr)\Bigr\rfloor + 2.
$$

Passo 7

Esse valor de k é exatamente a quantidade de quadrados que precisamos gerar até obter área menor que A.

Resposta

k = llfloorlog4l(L^2Ar)rrfloor + 2

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