Considere dados os valores de L (int) e A (float). A partir de um quadrado de lado L, uma sequência infinita de quadrados pode ser construída onde a medida do lado de cada novo quadrado é sempre a metade da medida do lado do quadrado anterior. Calcular o número de quadrados necessários na sequência até que se obtenha um quadrado com área menor do que
.
Passo 1
O enunciado pede pra gente contar quantos quadrados geramos a partir de um de lado L, cada novo tendo lado metade do anterior, até que a área fique menor que A. O conteúdo é de sequência geométrica (tanto de lados quanto de áreas) e vamos precisar usar definição de área de quadrado e resolver uma desigualdade exponencial com logaritmo.
Passo 2
Para ver como a área decresce, note que o k-ésimo quadrado tem lado
e, portanto, área
Passo 3
Queremos encontrar o menor índice k tal que
Vamos transformar isso numa desigualdade em potências de 4:
Passo 4
Multiplicando ambos os lados por
e dividindo por A, obtemos
Agora aplicamos logaritmo na base 4 para isolar o expoente:
Passo 5
Como
é crescente, temos
$$k-1 > \log_4\Bigl(\tfrac{L^2}{A}\Bigr).
$$
e portanto o número de quadrados necessários é
e portanto o número de quadrados necessários é
Passo 6
Por fim, somando 1 dos dois lados, o índice mínimo k é dado por
$$k = \Bigl\lfloor\log_4\Bigl(\tfrac{L^2}{A}\Bigr)\Bigr\rfloor + 2.
$$
Passo 7
Esse valor de k é exatamente a quantidade de quadrados que precisamos gerar até obter área menor que A.