Considere que em um determinado sistema de unidades a velocidade
tenha dimensão de
, em que
representa um tempo,
uma aceleração,
representa uma distância,
uma velocidade,
uma aceleração e
,
e
são números reais. Para que a equação seja dimensionalmente correta, ou seja, para que a dimensão do lado esquerdo da equação seja igual à dimensão do lado direito, DETERMINE o valor do expoente
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você trouxe um problema de análise dimensional, que é uma parte da física e da matemática aplicada. O enunciado diz que a velocidade
tem a dimensão
, onde:
-
é tempo, -
é aceleração, -
é distância, -
, e são números reais que precisamos descobrir.
Nosso objetivo é encontrar o valor de
de forma que a equação seja dimensionalmente correta, ou seja, as dimensões de um lado da equação devem ser iguais às dimensões do outro lado.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar das dimensões básicas das grandezas envolvidas:
-
Velocidade (
): tem dimensão de distância dividida pelo tempo. Em notação dimensional, isso é representado por , onde representa distância e representa tempo. -
Aceleração (
): é a variação da velocidade em relação ao tempo, então sua dimensão é . -
Tempo (
): dimensiona-se como . -
Distância (
): dimensiona-se como .
Passo 3
Agora, vamos expressar a dimensão de
usando a rela�o dada no problema:
Substituindo pelas dimensões correspondentes:
Passo 4
Vamos simplificar o lado direito da equação:
Multiplicando tudo junto:
Passo 5
Agora igualamos as dimensões dos dois lados da equação:
Para que as dimensões sejam iguais, os expoentes de
e
devem ser iguais nos dois lados:
- Para
:
- Para
:
Passo 6
Temos um sistema de duas equações com três incógnitas:
Neste caso, queremos determinar
. Como não temos informações adicionais sobre
e
, podemos expressar
e
em função de
.
Da primeira equação:
Da segunda equação:
Passo 7
Como o problema pede apenas o valor de
para que a equação seja dimensionalmente correta, e não há restrições adicionais, podemos escolher valores para
que satisfaçam as relações encontradas.
Por exemplo, se considerarmos
:
Isso satisfaz as equações. Porém, essa não é a única solução possível.
Passo 8
Para a equação ser dimensionally correta, qualquer valor de
que satisfaça as relações
e
é válido. No entanto, como queremos uma relação geral para
, podemos deixar a resposta em termos de
e suas relações.
Resposta
O expoente
pode ser qualquer número real, desde que satisfaça as relações
e
. Portanto, para que a equação seja dimensionalmente correta,
deve ser tal que: