Considere que em um determinado sistema de unidades a velocidade v tenha dimensão de a^n t^m x^p, em que t representa um tempo, a uma aceleração, x representa uma distância, v uma velocidade, a uma aceleração e n, m e p são números reais. Para que a equação seja dimensionalmente correta, ou seja, para que a dimensão do lado esquerdo da equação seja igual à dimensão do lado direito, DETERMINE o valor do expoente n.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você trouxe um problema de análise dimensional, que é uma parte da física e da matemática aplicada. O enunciado diz que a velocidade tem a dimensão , onde:
  • é tempo,
  • é aceleração,
  • é distância,
  • , e são números reais que precisamos descobrir.
Nosso objetivo é encontrar o valor de de forma que a equação seja dimensionalmente correta, ou seja, as dimensões de um lado da equação devem ser iguais às dimensões do outro lado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das dimensões básicas das grandezas envolvidas:
  • Velocidade ( ): tem dimensão de distância dividida pelo tempo. Em notação dimensional, isso é representado por , onde representa distância e representa tempo.
  • Aceleração ( ): é a variação da velocidade em relação ao tempo, então sua dimensão é .
  • Tempo ( ): dimensiona-se como .
  • Distância ( ): dimensiona-se como .

Passo 3

Agora, vamos expressar a dimensão de [v] = a^n t^m x^p usando a relaç��o dada no problema:
L T^-1 = (L T^-2)^n cdot (T)^m cdot (L)^p
Substituindo pelas dimensões correspondentes:

Passo 4

Vamos simplificar o lado direito da equação:
(L T^-2)^n = L^n T^-2n
(T)^m = T^m
(L)^p = L^p
Multiplicando tudo junto:
L^n T^-2n cdot T^m cdot L^p = L^n + p T^-2n + m

Passo 5

Agora igualamos as dimensões dos dois lados da equação:
L T^-1 = L^n + p T^-2n + m
Para que as dimensões sejam iguais, os expoentes de n + p = 1 e -2n + m = -1 devem ser iguais nos dois lados:
  1. Para :
  1. Para :

Passo 6

Temos um sistema de duas equações com três incógnitas:
n + p = 1 -2n + m = -1
Neste caso, queremos determinar p = 1 - n . Como não temos informações adicionais sobre m = -1 + 2n e , podemos expressar e em função de .
Da primeira equação:
Da segunda equação:

Passo 7

Como o problema pede apenas o valor de p = 1 - 0 = 1 para que a equação seja dimensionalmente correta, e não há restrições adicionais, podemos escolher valores para m = -1 + 2(0) = -1 que satisfaçam as relações encontradas.
Por exemplo, se considerarmos :
Isso satisfaz as equações. Porém, essa não é a única solução possível.

Passo 8

Para a equação ser dimensionally correta, qualquer valor de que satisfaça as relações e é válido. No entanto, como queremos uma relação geral para , podemos deixar a resposta em termos de e suas relações.

Resposta

O expoente p = 1 - n e m = -1 + 2n pode ser qualquer número real, desde que satisfaça as relações e . Portanto, para que a equação seja dimensionalmente correta, deve ser tal que:

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