Considere um disco circular de plástico, de raio
, que possui uma carga superficial uniforme de densidade
, distribuída sobre sua superfície superior. (a) Qual é o campo elétrico no ponto
, situado a uma distância
do disco, ao longo de seu eixo? (b) O que se espera para pontos suficientemente distantes do disco,
, qual a expressão do campo elétrico? Comente o resultado. © E o que se espera para pontos suficientemente próximos do disco,
, qual a expressão do campo elétrico? Comente o resultado.
Passo 1
Então, galera! Vamos resolver um exercício de eletrostática envolvendo um disco carregado. A questão nos pede para encontrar o campo elétrico em diferentes pontos ao longo do eixo do disco. Para isso, vamos precisar entender conceitos como densidade de carga superficial, campo elétrico produzido por uma distribuição de carga e como integrar essas contribuições para obter o resultado total.
Passo 2
Parte (a): Campo elétrico no ponto $ P $ a uma distância $ z $ do disco, ao longo do eixo
Primeiro, vamos encontrar o campo elétrico em um ponto $ P $ situado a uma distância $ z $ do centro do disco, ao longo do seu eixo. Para isso, imaginamos o disco como sendo composto por infinitas “anelzinhos” concêntricos de raio $ r $ e espessura $ dr $.
A carga de cada anel é dada por:
onde $ \sigma $ é a densidade de carga superficial.
O campo elétrico produzido por um anel no ponto $ P $ tem apenas componente na direção do eixo $ z $, e é dado por:
Integrando de $ r = 0 $ até $ r = R $, obtemos o campo total:
Passo 3
Parte (b): Campo elétrico para $ z \gg R $ (ponto muito distante do disco)
Quando $ z $ é muito maior que $ R $, ou seja, $ z \gg R $, podemos simplificar a expressão do campo.
Observando a expressão anterior:
Para $ z \gg R $, $ \sqrt{z^2 + R^2} \approx z $, então:
No entanto, precisamos considerar a próxima ordem na expansão. Expandindo $ \sqrt{z^2 + R^2} $ para $ R \ll z $:
Substituindo:
Isso se assemelha ao campo de um dipolo ou de uma distribuição de carga pontual, indicando que, a grandes distâncias, o disco parece uma carga efetiva distribuída como um ponto.
Passo 4
Parte ©: Campo elétrico para $ z \ll R $ (ponto muito próximo do disco)
Agora, consideramos o caso em que $ z $ é muito menor que $ R $, ou seja, $ z \ll R $.
Voltando à expressão original:
Para $ z \ll R $, $ \sqrt{z^2 + R^2} \approx R $, então:
Aqui, o campo elétrico se aproxima do valor constante de um plano infinito carregado, que é $ \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} $. Isso faz sentido, já que quando estamos muito próximos do disco, suas bordas têm pouco efeito e ele se comporta como um plano infinito de carga.
Resposta
(a) O campo elétrico no ponto $ P $ a uma distância $ z $ do disco, ao longo de seu eixo, é $ E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} \left(1 - \frac{z}{\sqrt{z^2 + R^2}}\right) $.
(b) Para $ z \gg R $, o campo elétrico é aproximadamente $ E \approx \frac{\sigma R^2}{4\varepsilon_0 z^2} $, indicando que o disco se comporta como uma carga efetiva pontual a grandes distâncias.
© Para $ z \ll R $, o campo elétrico é aproximadamente $ E \approx \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} $, semelhante ao campo de um plano infinito carregado próximo à sua superfície.