Considere duas cargas pontuais q_{1}=20 \mu C e q_{2}=-40 \mu C localizadas nos pontos de coordenadas P_{1}(1,3,-1) e P_{2}(-3,1,-2), respectivamente. Determine:
a) O campo elétrico em P(3,1,-2);
b) A força em uma carga de 80 \mu \mathrm{C} localizada no ponto P.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
a) Determinar o campo elétrico no ponto P(3,1,-2) causado pelas duas cargas puntuais q_{1} e q_{2}.
b) Determinar a força sobre uma carga de 80\\ \mu\mathrm{C} colocada em P, devido ao campo resultante do item (a).
Informações dadas (vou listar tudo explicitamente):
q_{1}=20\\ \mu\mathrm{C}=20\times10^{-6}\\ \mathrm{C}, \qquad \mathbf{r}_{1}=(1,3,-1),
q_{2}=-40\\ \mu\mathrm{C}=-40\times10^{-6}\\ \mathrm{C}, \qquad \mathbf{r}_{2}=(-3,1,-2),
\mathbf{r}=(3,1,-2)\quad\text{(ponto onde queremos o campo e onde a carga de prova ficará)}.á
Também preciso do valor da constante eletrostática; vou usar
k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\approx 8{,}99\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C^{2}}.

Passo 2

Apresento a fórmula do campo elétrico criado por uma carga pontual e explico cada termo (para você usar na prova sem erro):
A contribuição ao campo elétrico em \mathbf{r} de uma carga puntiforme q localizada em \mathbf{r}' é
\mathbf{E}(\mathbf{r})=k\,q\,\dfrac{\mathbf{r}-\mathbf{r}'}{\lvert \mathbf{r}-\mathbf{r}'\rvert^{3}}.
O que isso significa, peça por peça:
  • k é a constante eletrostática (valor acima).
  • q é o valor da carga fonte (em coulombs).
  • \mathbf{r}-\mathbf{r}' é o vetor que vai da posição da carga fonte até o ponto onde avaliamos o campo; ele indica direção e sentido.
  • \lvert \mathbf{r}-\mathbf{r}'\rvert é a distância entre a carga e o ponto; o denominador ao cubo transforma o vetor em um vetor unitário dividido por r^{2}, refletindo que o campo decai com 1/r^{2} e aponta na direção do vetor.
Para o problema com duas cargas, o princípio da superposição diz que o campo total é a soma vetorial das contribuições:
\mathbf{E}_{\text{total}}=\mathbf{E}_{1}+\mathbf{E}_{2}.

Passo 3

Calculo os vetores \mathbf{r}-\mathbf{r}_{1} e \mathbf{r}-\mathbf{r}_{2} (vetores que ligam cada carga ao ponto P):
\mathbf{r}-\mathbf{r}_{1}=(3-1,\\\ 1-3,\\\ -2-(-1))=(2,\\\ -2,\\\ -1).
\mathbf{r}-\mathbf{r}_{2}=(3-(-3),\\\ 1-1,\\\ -2-(-2))=(6,\\\ 0,\\\ 0).

Passo 4

Calculo as distâncias (normas) correspondentes:
\lvert \mathbf{r}-\mathbf{r}_{1}\rvert=\sqrt{2^{2}+(-2)^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{4+4+1}=\sqrt{9}=3.
\lvert \mathbf{r}-\mathbf{r}_{2}\rvert=\sqrt{6^{2}+0^{2}+0^{2}}=\sqrt{36}=6.

Passo 5

Agora aplico a fórmula do campo para cada carga, escrevendo de forma simbólica primeiro:
\mathbf{E}_{1}=k\,q_{1}\,\dfrac{(2,\,-2,\,-1)}{3^{3}}=k\,q_{1}\,\dfrac{(2,\,-2,\,-1)}{27},
\mathbf{E}_{2}=k\,q_{2}\,\dfrac{(6,\,0,\,0)}{6^{3}}=k\,q_{2}\,\dfrac{(6,\,0,\,0)}{216}.
Observação simples: 6/216=1/36, então podemos simplificar \mathbf{E}_{2} como k q_{2}(1/36,\,0,\,0).

Passo 6

Faço as substituições numéricas nos factores escalares (vou mostrar as contas passo a passo):
Para \mathbf{E}_{1}:
k\,q_{1} = 8{,}99\times10^{9}\times 20\times10^{-6}=8{,}99\times10^{9}\times 2\times10^{-5}.
Multiplicando as potências de dez: 10^{9}\cdot10^{-5}=10^{4}. Multiplicando mantissas: 8{,}99\times2=17{,}98. Logo
k\,q_{1}=17{,}98\times10^{4}=1{,}798\times10^{5}.
Dividindo por 27:
\dfrac{k\,q_{1}}{27}\approx \dfrac{1{,}798\times10^{5}}{27}\approx 6659{,}26\quad(\mathrm{N/C\\ per\\ unit\\ component}).
Portanto
\mathbf{E}_{1}\approx 6659{,}26\,(2,\,-2,\,-1)=(13318{,}52,\\\ -13318{,}52,\\\ -6659{,}26)\\ \mathrm{N/C}.

Passo 7

Agora \mathbf{E}_{2}:
k\,q_{2}=8{,}99\times10^{9}\times(-40)\times10^{-6}=8{,}99\times10^{9}\times(-4)\times10^{-5}.
Mantissa: 8{,}99\times(-4)=-35{,}96. Potência: 10^{9}\cdot10^{-5}=10^{4}. Assim
k\,q_{2}=-35{,}96\times10^{4}=-3{,}596\times10^{5}.
Dividindo por 36 (já que \mathbf{E}_{2} tem fator 1/36):
\dfrac{k\,q_{2}}{36}\approx \dfrac{-3{,}596\times10^{5}}{36}\approx -9988{,}89.
Como \mathbf{E}_{2} só tem componente x, temos
\mathbf{E}_{2}\approx (-9988{,}89,\\\ 0,\\\ 0)\\ \mathrm{N/C}.

Passo 8

Faço a soma vetorial para obter o campo total em P:
\mathbf{E}_{\text{total}}=\mathbf{E}_{1}+\mathbf{E}_{2}=(13318{,}52,\\\ -13318{,}52,\\\ -6659{,}26)+(-9988{,}89,\\\ 0,\\\ 0).
Somando componente a componente:
\mathbf{E}_{\text{total}}\approx (13318{,}52-9988{,}89,\\\ -13318{,}52,\\\ -6659{,}26).
\mathbf{E}_{\text{total}}\approx (3329{,}63,\\\ -13318{,}52,\\\ -6659{,}26)\\ \mathrm{N/C}.

Passo 9

Agora passo para a força sobre a carga de prova q_{3}=80\\ \mu\mathrm{C}=80\times10^{-6}\\ \mathrm{C}=8\times10^{-5}\\ \mathrm{C}.
A força é dada por
\mathbf{F}=q_{3}\,\mathbf{E}_{\text{total}}.
Multiplico cada componente por q_{3}=8\times10^{-5}:
Componente x:
F_{x}=3329{,}63\times 8\times10^{-5}=3329{,}63\times0{,}00008\approx 0{,}2663704\\ \mathrm{N}.
Componente y:
F_{y}=-13318{,}52\times 8\times10^{-5}\approx -1{,}0654816\\ \mathrm{N}.
Componente z:
F_{z}=-6659{,}26\times 8\times10^{-5}\approx -0{,}5327408\\ \mathrm{N}.

Passo 10

Resumo numérico (arredondarei razoavelmente para três casas decimais nas componentes, que é prático para prova):
\mathbf{E}_{\text{total}}\approx (3329{,}63,\\\ -13318{,}52,\\\ -6659{,}26)\\ \mathrm{N/C},
\mathbf{F}\approx (0{,}266,\\\ -1{,}065,\\\ -0{,}533)\\ \mathrm{N}.

Resposta

\mathbf{E}(3,1,-2)=(3329{,}63,\\\ -13318{,}52,\\\ -6659{,}26)\\ \mathrm{N/C}
\mathbf{F}=(0{,}266\\ ,\\\ -1{,}065\\ ,\\\ -0{,}533)\\ \mathrm{N}

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