Calcule o campo elétrico no ponto de coordenadas P(2,2,2) devido à uma carga pontual q_{1}=1 \mu C localizada no ponto de coordenadas P_{1}(0,1,0).

Passo 1

O enunciado pede para calcular o campo elétrico no ponto P(2,2,2) devido a uma carga pontual q_{1}=1\\ \mu\text{C} localizada em P_{1}(0,1,0). Dados relevantes:
q_{1}=1\\ \mu\text{C}=1\times10^{-6}\\ \text{C},
P=(2,2,2),\qquad P_{1}=(0,1,0).
A pergunta é: qual é o vetor campo elétrico \mathbf{E} em P devido a q_{1}?

Passo 2

Fórmula que vamos usar: a lei de Coulomb para campo elétrico de uma carga pontual. Em forma vetorial,
\mathbf{E}(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\; \frac{q\;(\mathbf{r}-\mathbf{r}')}{\lVert \mathbf{r}-\mathbf{r}'\rVert^{3}}
ou, equivalentemente,
\mathbf{E} = k\,\frac{q}{r^{2}}\,\hat{\mathbf{r}},
onde:
  • \mathbf{r} é a posição do ponto onde queremos o campo (aqui P),
  • \mathbf{r}' é a posição da carga (aqui P_{1}),
  • \mathbf{r}-\mathbf{r}' é o vetor que vai da carga até o ponto de interesse,
  • r=\lVert \mathbf{r}-\mathbf{r}'\rVert é a distância entre carga e ponto,
  • \hat{\mathbf{r}}=(\mathbf{r}-\mathbf{r}')/r é o vetor unitário na direção de \mathbf{r}-\mathbf{r}',
  • \varepsilon_{0} é a permissividade do vácuo e k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\approx 8{,}98755179\times10^{9}\\ \text{N·m}^{2}\text{/C}^{2}.
Explicação rápida: a fórmula diz que o campo aponta ao longo da linha que liga a carga ao ponto, tem direção de afastamento para carga positiva e magnitude que decai como 1/r^{2}.

Passo 3

Calcular o vetor deslocamento da carga até o ponto P. Subtraímos coordenada a coordenada:
\mathbf{r}-\mathbf{r}'=P-P_{1}=(2-0,\;2-1,\;2-0)=(2,1,2).
Este vetor indica a direção do campo (para fora, pois a carga é positiva).

Passo 4

Calcular a distância r=\lVert \mathbf{r}-\mathbf{r}'\rVert. Fazemos as contas:
r=\sqrt{2^{2}+1^{2}+2^{2}}=\sqrt{4+1+4}=\sqrt{9}=3.

Passo 5

Calcular o vetor unitário \hat{\mathbf{r}} na direção de \mathbf{r}-\mathbf{r}':
\hat{\mathbf{r}}=\frac{(2,1,2)}{3}=\left(\frac{2}{3},\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right).
O vetor unitário serve para manter apenas a direção e normalizar o comprimento para 1.

Passo 6

Calcular a magnitude do campo usando E=k\,\dfrac{q}{r^{2}}. Substituindo:
q=1\times10^{-6}\\ \text{C},\qquad r^{2}=3^{2}=9,\qquad k\approx 8{,}98755179\times10^{9}\\ \text{N·m}^{2}/\text{C}^{2}.
Então
E = k\,\frac{q}{r^{2}} \approx 8{,}98755179\times10^{9}\cdot\frac{1\times10^{-6}}{9} = \frac{8{,}987{,}551{,}79\times10^{3}}{9}\approx 998{,}616{,}865\\ \text{N/C}.

Passo 7

Obter as componentes do campo multiplicando a magnitude E pelo vetor unitário \hat{\mathbf{r}}:
\mathbf{E}=E\,\hat{\mathbf{r}} \approx 998{,}616{,}865\left(\frac{2}{3},\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right).
Fazendo as multiplicações:
E_{x}\approx 998{,}616{,}865\cdot\frac{2}{3}\approx 665{,}744{,}577\\ \text{N/C},
E_{y}\approx 998{,}616{,}865\cdot\frac{1}{3}\approx 332{,}872{,}288\\ \text{N/C},
E_{z}\approx 998{,}616{,}865\cdot\frac{2}{3}\approx 665{,}744{,}577\\ \text{N/C}.

Passo 8

Resumo e interpretação: o campo está apontando para fora da carga (porque q>0), na direção do vetor (2,1,2). As componentes numéricas arredondadas com duas casas decimais são:
E_{x}\approx 665{,}74\\ \text{N/C},\quad E_{y}\approx 332{,}87\\ \text{N/C},\quad E_{z}\approx 665{,}74\\ \text{N/C}.

Resposta

\displaystyle \mathbf{E}(2,2,2)\approx\left(665{,}74,\;332{,}87,\;665{,}74\right)\\ \text{N/C}

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