Considere duas fontes pontuais de luz coerente separadas por uma distância d. A condição para que o ponto P no espaço, onde a diferença de caminho é \Delta r, esteja em um ponto de interferência totalmente construtiva é que o \Delta r seja um múltiplo inteiro de \lambda . Qual é a diferença de fase correspondente?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pergunta o seguinte:
  • Duas fontes pontuais coerentes estão separadas por uma distância d.
  • Para o ponto P no espaço a diferença de caminho entre as duas ondas é \Delta r.
  • A condição para interferência totalmente construtiva é \Delta r ser um múltiplo inteiro de \lambda, ou seja \Delta r = m\lambda com m\in\mathbb{Z}.
  • Pergunta: qual é a diferença de fase correspondente a essa condição?

Passo 2

Vamos lembrar como se escreve a onda proveniente de uma fonte pontual (modelo simples, unidimensional para entender a fase). Uma forma de onda harmônica pode ser escrita como
E(r,t)=A\cos\bigl(k r - \omega t\bigr),
onde:
  • A é a amplitude (não nos interessa o valor numérico aqui),
  • r é a distância percorrida pela onda desde a fonte até o ponto considerado,
  • t é o tempo,
  • k é o número de onda (também chamado de constante de propagação),
  • \omega é a frequência angular da onda.
Expliquei cada símbolo para você saber o que aparece nas fórmulas — isso ajuda na prova.

Passo 3

Se temos duas ondas chegando em P vindas de duas fontes diferentes, com distâncias r_1 e r_2, suas fases (as partes dentro do cosseno) são k r_1 - \omega t e k r_2 - \omega t. A diferença de fase entre as duas ondas é a diferença desses argumentos, ou seja
\Delta\varphi = k r_2 - \omega t - (k r_1 - \omega t)=k(r_2-r_1)=k\,\Delta r.
Aqui \Delta\varphi é medida em radianos. Note que as parcelas em -\omega t se cancelam porque as fontes são coerentes (mesma frequência/tempo).

Passo 4

Agora use a relação entre o número de onda k e o comprimento de onda \lambda. Por definição,
k=\frac{2\pi}{\lambda}.
Expliquei isso porque às vezes a prova pede que você reconecte k com \lambda.

Passo 5

Substituindo k em \Delta\varphi=k\,\Delta r obtemos a relação geral entre diferença de caminho e diferença de fase:
\Delta\varphi=\frac{2\pi}{\lambda}\,\Delta r.
Isto significa que cada vez que a diferença de caminho aumenta em \lambda, a diferença de fase aumenta em 2\pi rad.

Passo 6

Agora aplique a condição de interferência construtiva dada: \Delta r=m\lambda com m inteiro. Substituindo na expressão anterior:
\Delta\varphi=\frac{2\pi}{\lambda}\,(m\lambda)=2\pi m.
Ou seja, a diferença de fase correspondente é um múltiplo inteiro de 2\pi radianos.

Passo 7

Interpretação prática e dica de prova:
  • Físicamente, \Delta\varphi=2\pi m significa que as duas ondas chegam em fase (pois 2\pi corresponde a um ciclo completo), logo se somam construtivamente.
  • Em graus, isso equivale a \Delta\varphi=360^\circ m.
  • Na hora da prova, memorize a fórmula rápida \Delta\varphi=\dfrac{2\pi}{\lambda}\Delta r e então substitua \Delta r=m\lambda para concluir \Delta\varphi=2\pi m.

Resposta

\Delta\varphi=2\pi m (rad)