Considere duas partículas de massa m. As forças nas partículas são F1=0 e F2=F0 i. Se as partículas estão na origem em t=0, qual a posição, velocidade e aceleração do centro de massa?
Resp: rcm=(F0 / 4 m) t^2 i, vcm=(F0 / 2 m) t i, acm=(F0 / 2 m) i

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de física juntos! O problema fala sobre duas partículas com massa igual a m. A força na primeira partícula é zero, e na segunda é F₀ na direção i. Ambas começam na origem quando t = 0. Nosso objetivo é encontrar a posição, velocidade e aceleração do centro de massa dessas partículas. Para isso, vamos usar conceitos de Mecânica Clássica, especificamente o Centro de Massa e as Leis de Newton.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o centro de massa de um sistema de partículas é como se toda a massa estivesse concentrada nesse ponto. A posição do centro de massa (r_cm) é dada pela média ponderada das posições das partículas, considerando suas massas.
Como temos duas partículas com a mesma massa m, a posição do centro de massa é:
rcm = m r1 + m r2m + m = r1 + r22

Passo 3

Agora, vamos analisar as forças agindo em cada partícula. A primeira partícula tem força F₁ = 0, o que significa que ela não sente nenhuma força e, portanto, não vai acelerar. A segunda partícula tem força F₂ = F₀ \mathbf{i}, ou seja, uma força constante na direção i.
Segundo a Segunda Lei de Newton, a aceleração de uma partícula é dada por:
a = Fm
Então, a aceleração da primeira partícula é:
a1 = 0m = 0
E a aceleração da segunda partícula é:
a2 = F0m i

Passo 4

Agora, vamos calcular a aceleração do centro de massa. A aceleração do centro de massa é a média das acelerações das partículas:
acm = a1 + a22 = 0 + F0m i2 = F02m i

Passo 5

Com a aceleração do centro de massa, podemos encontrar a velocidade integrando a aceleração em relação ao tempo:
vcm = integral acm , dt = integral F02m i , dt = F02m t i + v0
Como a velocidade inicial é zero (pois ambos começam na origem sem movimento), temos:
vcm = F02m t i

Passo 6

Finalmente, para encontrar a posição do centro de massa, integramos a velocidade em relação ao tempo:
rcm = integral vcm , dt = integral F02m t i , dt = F04m t^2 i + r0
Como a posição inicial é zero, temos:
rcm = F04m t^2 i

Resposta

A posição do centro de massa é rcm = (F04m) t^2 i, a velocidade é vcm = (F02m) t i e a aceleração é acm = (F02m) i.

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