Considere duas partículas de massa m. As forças nas partículas são
e
i. Se as partículas estão na origem em
, qual a posição, velocidade e aceleração do centro de massa?
Resp:
Resp:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de física juntos! O problema fala sobre duas partículas com massa igual a m. A força na primeira partícula é zero, e na segunda é F₀ na direção i. Ambas começam na origem quando t = 0. Nosso objetivo é encontrar a posição, velocidade e aceleração do centro de massa dessas partículas. Para isso, vamos usar conceitos de Mecânica Clássica, especificamente o Centro de Massa e as Leis de Newton.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o centro de massa de um sistema de partículas é como se toda a massa estivesse concentrada nesse ponto. A posição do centro de massa (r_cm) é dada pela média ponderada das posições das partículas, considerando suas massas.
Como temos duas partículas com a mesma massa m, a posição do centro de massa é:
Passo 3
Agora, vamos analisar as forças agindo em cada partícula. A primeira partícula tem força F₁ = 0, o que significa que ela não sente nenhuma força e, portanto, não vai acelerar. A segunda partícula tem força F₂ = F₀ \mathbf{i}, ou seja, uma força constante na direção i.
Segundo a Segunda Lei de Newton, a aceleração de uma partícula é dada por:
Então, a aceleração da primeira partícula é:
E a aceleração da segunda partícula é:
Passo 4
Agora, vamos calcular a aceleração do centro de massa. A aceleração do centro de massa é a média das acelerações das partículas:
Passo 5
Com a aceleração do centro de massa, podemos encontrar a velocidade integrando a aceleração em relação ao tempo:
Como a velocidade inicial é zero (pois ambos começam na origem sem movimento), temos:
Passo 6
Finalmente, para encontrar a posição do centro de massa, integramos a velocidade em relação ao tempo:
Como a posição inicial é zero, temos:
Resposta
A posição do centro de massa é
, a velocidade é
e a aceleração é
.