Considere a EDO
2 + e^y/x + (e^y + y/x) dy/dx = 0
Encontre a solução quando y(1)=1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) que o exercício nos deu. A equação é:
2 + e^y/x + (e^y + y/x) dy/dx = 0
Queremos encontrar a solução dessa EDO que passa pelo ponto (1, 1), ou seja, quando x = 1, . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equações exatas e fator integrante, que são ferramentas que ajudam a simplificar e resolver equações diferenciais mais complicadas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixá-la em uma forma mais reconhecível. Vamos organizar os termos para identificar as funções que acompanham e :
Agora, identificamos:

Passo 3

Vamos verificar se essa equação é exata. Uma equação é exata se a derivada parcial de M em relação a y for igual à derivada parcial de N em relação a x. Calculando:
Como , a equação não é exata. Então, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata.

Passo 4

Vamos buscar um fator integrante que depende apenas de x. A fórmula para isso é:
Calculando o numerador:
Dividindo por N:
Então:

Passo 5

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante x:
Simplificando:
Agora, a equação é exata.

Passo 6

Para resolver uma equação exata, buscamos uma função F(x, y) tal que:
Integrando em relação a x:
Onde é uma função de y.

Passo 7

Agora, calculamos a derivada parcial de F em relação a y e igualamos a N:
Isso nos dá:
Onde C é a constante de integração.

Passo 8

Então, a função potencial é:
Usando a condição inicial para encontrar C:

Resposta

A solução da equação diferencial dada com a condição inicial é:

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