Considere um elétron se movendo em um campo magnético uniforme dado por B=B0 z. Se a força resultante sobre o elétron é dada por F=a x-b y, sendo a e b constantes, determine o vetor velocidade do elétron.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um elétron se movendo em um campo magnético uniforme dirigido na direção z, representado por B = B0 z. A força resultante que atua sobre esse elétron é F = a x - b y, onde a e b são constantes. Nosso objetivo é encontrar o vetor velocidade v do elétron.
Para resolver isso, vamos usar a Lei de Lorentz, que descreve a força sobre uma carga em movimento em um campo magnético. Precisamos lembrar que a força magnética depende da velocidade da partícula e do campo magnético.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a Lei de Lorentz para a força magnética:
F = q (v times B)
Onde:
  • F é a força magnética,
  • q é a carga da partícula (no caso, o elétron, que tem carga q = -e),
  • v é a velocidade da partícula,
  • B é o campo magnético.
Nosso alvo é encontrar v, então vamos isolar essa variável na equação.

Passo 3

Sabemos que F também é dado como F = a x - b y. Então, podemos igualar as duas expressões para a força:
a x - b y = q (v times B)
Substituindo B = B0 z e q = -e, temos:
a x - b y = -e (v times B0 z)

Passo 4

Vamos calcular o produto vetorial v times z. Suponha que v = vx x + vy y + vz z, então:
v times z = x & y & z vx & vy & vz 0 & 0 & 1 = (vy cdot 1 - vz cdot 0) x - (vx cdot 1 - vz cdot 0) y + (vx cdot 0 - vy cdot 0) z
= vy x - vx y

Passo 5

Agora, substituindo o produto vetorial na equação da força:
a x - b y = -e B0 (vy x - vx y)
Vamos distribuir o lado direito:
a x - b y = -e B0 vy x + e B0 vx y

Passo 6

Agora, podemos igualar as componentes correspondentes dos vetores nos dois lados da equação:
Para x:
a = -e B0 vy
Para y:
- b = e B0 vx

Passo 7

Vamos resolver para vx e vy:
De a = -e B0 vy:
vy = -ae B0
De - b = e B0 vx:
vx = -be B0

Resposta

O vetor velocidade do elétron é:
v = -be B0 x - ae B0 y

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