Considere a equação y=a x^2+b x+c. Completando o quadrado, mostre que essa equação pode ser reescrita na forma:
(x+b2 a)^2=1a(y+De
em que De. Compare a Equação 5.12 com as Equações 5.5a e 5.5b e conclua que:
  • a equação y=a x^2+b x+c representa uma parábola de eixo vertical;
  • se a>0 a parábola é côncava para cima e se a<0 a parábola é côncava para baixo;
  • o vértice da parábola tem coordenadas (-b2 a,-De;
  • o foco da parábola tem coordenadas (-b2 a, 1-De.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação quadrática y = a x^2 + b x + c completando o quadrado. O conteúdo que vamos usar aqui é a técnica de completar o quadrado para reescrever a equação de uma parábola. Vamos precisar manipular a expressão algébrica e entender como essa forma modificada nos ajuda a identificar características da parábola, como o vértice e a concavidade.

Passo 2

Primeiro, vamos isolar os termos que envolvem x na equação:
y = a x^2 + b x + c
Vamos começar dividindo todos os termos por a (assumindo que a neq 0) para facilitar o processo de completar o quadrado:
ya = x^2 + ba x + ca

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para a parte em x. Pegamos o coeficiente de x, que é ba, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
(b2a)^2 = b^24a^2
Adicionamos e subtraímos esse valor na equação:
ya = (x^2 + ba x + b^24a^2) - b^24a^2 + ca

Passo 4

A expressão dentro dos parênteses agora é um quadrado perfeito:
ya = (x + b2a)^2 - b^24a^2 + ca
Vamos simplificar os termos constantes:
ya = (x + b2a)^2 + (ca - b^24a^2)

Passo 5

Vamos encontrar uma expressão comum para os termos constantes:
ca - b^24a^2 = 4a c - b^24a^2 = -b^2 - 4a c4a^2 = -De
Onde De é o discriminante da equação quadrática.

Passo 6

Substituindo essa simplificação na equação, temos:
ya = (x + b2a)^2 - De
Multiplicando ambos os lados por a para voltar à forma original:
y = a (x + b2a)^2 - De

Passo 7

Para isolar o quadrado, vamos transferir o termo constante para o outro lado:
a (x + b2a)^2 = y + De
Dividindo ambos os lados por a:
(x + b2a)^2 = 1a (y + De

Passo 8

Agora que reescrevemos a equação na forma completada do quadrado, podemos comparar com a forma padrão de uma parábola de eixo vertical:
(x - h)^2 = 1p (y - k)
Dessa comparação, concluímos que:
  • A parábola tem eixo vertical.
  • Se a > 0, a concavidade é para cima; se a < 0, é para baixo.
  • O vértice está em (-b2a, -De.
  • O foco está em (-b2a, 1 - De.

Resposta

A equação y = a x^2 + b x + c, após completar o quadrado, pode ser reescrita como:
(x + b2 a)^2 = 1a(y + De
onde De. Além disso, concluímos que essa equação representa uma parábola de eixo vertical, concava para cima se a > 0 ou para baixo se a < 0, com vértice em (-b2 a, -De e foco em (-b2 a, 1 - De.

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