Considere a equação
. Completando o quadrado, mostre que essa equação pode ser reescrita na forma:
em que
. Compare a Equação 5.12 com as Equações 5.5a e 5.5b e conclua que:
- a equação
representa uma parábola de eixo vertical;
- se
a parábola é côncava para cima e se
a parábola é côncava para baixo;
- o vértice da parábola tem coordenadas
;
- o foco da parábola tem coordenadas
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação quadrática
completando o quadrado. O conteúdo que vamos usar aqui é a técnica de completar o quadrado para reescrever a equação de uma parábola. Vamos precisar manipular a expressão algébrica e entender como essa forma modificada nos ajuda a identificar características da parábola, como o vértice e a concavidade.
Passo 2
Primeiro, vamos isolar os termos que envolvem
na equação:
Vamos começar dividindo todos os termos por
(assumindo que
) para facilitar o processo de completar o quadrado:
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para a parte em
. Pegamos o coeficiente de
, que é
, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Adicionamos e subtraímos esse valor na equação:
Passo 4
A expressão dentro dos parênteses agora é um quadrado perfeito:
Vamos simplificar os termos constantes:
Passo 5
Vamos encontrar uma expressão comum para os termos constantes:
Onde
é o discriminante da equação quadrática.
Passo 6
Substituindo essa simplificação na equação, temos:
Multiplicando ambos os lados por
para voltar à forma original:
Passo 7
Para isolar o quadrado, vamos transferir o termo constante para o outro lado:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 8
Agora que reescrevemos a equação na forma completada do quadrado, podemos comparar com a forma padrão de uma parábola de eixo vertical:
Dessa comparação, concluímos que:
- A parábola tem eixo vertical.
- Se
, a concavidade é para cima; se , é para baixo. - O vértice está em
. - O foco está em
.
Resposta
A equação
, após completar o quadrado, pode ser reescrita como:
onde
. Além disso, concluímos que essa equação representa uma parábola de eixo vertical, concava para cima se
ou para baixo se
, com vértice em
e foco em
.