Considere a equação diferencial
a y'' + b y' + c y = d
Se c=0, qual deve ser o valor de d para que toda solução da EDO seja limitada?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o enunciado. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
onde c=0. Queremos encontrar o valor de d tal que todas as soluções dessa equação sejam limitadas. Para isso, vamos precisar conhecer as soluções da equação diferencial e analisar seu comportamento.

Passo 2

Com c=0, a equação fica:
Nossa tarefa é encontrar o valor de d que garante que as soluções y(x) não cresçam indefinidamente, ou seja, que sejam limitadas para todo x.

Passo 3

Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada:
Dividindo todos os termos por a, temos:

Passo 4

Encontramos a equação característica dessa equação homogênea:
Resolvendo para r:

Passo 5

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 6

Agora, buscamos uma solução particular para a equação completa:
Como o termo não homogêneo é uma constante, assumimos que a solução particular também é uma constante, ou seja, .

Passo 7

Substituindo na equação, temos:
Para que essa igualdade seja verdadeira, é necessário que .

Resposta

Portanto, para que toda solução da equação diferencial seja limitada, o valor de d deve ser igual a zero, ou seja, .

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