Considere a equação diferencial
Se
, qual deve ser o valor de
para que toda solução da EDO seja limitada?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o enunciado. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
onde
. Queremos encontrar o valor de
tal que todas as soluções dessa equação sejam limitadas. Para isso, vamos precisar conhecer as soluções da equação diferencial e analisar seu comportamento.
Passo 2
Com
, a equação fica:
Nossa tarefa é encontrar o valor de
que garante que as soluções
não cresçam indefinidamente, ou seja, que sejam limitadas para todo
.
Passo 3
Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada:
Dividindo todos os termos por
, temos:
Passo 4
Encontramos a equação característica dessa equação homogênea:
Resolvendo para
:
Passo 5
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 6
Agora, buscamos uma solução particular
para a equação completa:
Como o termo não homogêneo é uma constante, assumimos que a solução particular também é uma constante, ou seja,
.
Passo 7
Substituindo
na equação, temos:
Para que essa igualdade seja verdadeira, é necessário que
.
Resposta
Portanto, para que toda solução da equação diferencial seja limitada, o valor de
deve ser igual a zero, ou seja,
.