Considere a equação de estado de Berthelot dada a seguir. Mostre como calcular as constantes
e
usando somente dados de ponto crítico.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos a equação de estado de Berthelot:
O objetivo é descobrir como calcular as constantes
e
usando apenas os dados do ponto crítico. Para isso, vamos precisar entender o que é o ponto crítico e como ele se relaciona com a equação de estado.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o ponto crítico. O ponto crítico de uma substância é aquele ponto no diagrama temperatura-pressão onde a distinção entre líquido e gás desaparece. Isso significa que, nesse ponto, as propriedades do líquido e do gás são iguais. As coordenadas desse ponto são
(pressão crítica),
(temperatura crítica) e
(volume crítico).
Passo 3
Para encontrar as constantes
e
, vamos usar as condições que devem ser satisfeitas no ponto crítico. Essas condições envolvem as derivadas da pressão em relação ao volume. Especificamente, no ponto crítico, as duas primeiras derivadas da pressão em relação ao volume são iguais a zero:
Passo 4
Vamos calcular a primeira derivada da equação de Berthelot em relação ao volume
:
No ponto crítico, essa derivada é zero, então temos:
Passo 5
Agora, calculamos a segunda derivada da pressão em relação ao volume:
Também no ponto crítico, essa derivada é zero:
Passo 6
Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas
e
. Vamos resolver esse sistema.
Primeiro, da equação do passo 4:
Passo 7
Agora, substituímos a expressão de
na equação do passo 5:
Simplificando:
Passo 8
Agora, podemos dividir ambos os lados por
:
Resolvendo para
:
Passo 9
Com o valor de
encontrado, substituímos de volta na expressão para
que encontramos no passo 6:
Resposta
As constantes
e
são dadas por: