Considere a equação de estado de Berthelot dada a seguir. Mostre como calcular as constantes a e b usando somente dados de ponto crítico.
P=R Tv-b-aT v^2

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos a equação de estado de Berthelot:
P = R Tv - b - aT v^2
O objetivo é descobrir como calcular as constantes e usando apenas os dados do ponto crítico. Para isso, vamos precisar entender o que é o ponto crítico e como ele se relaciona com a equação de estado.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o ponto crítico. O ponto crítico de uma substância é aquele ponto no diagrama temperatura-pressão onde a distinção entre líquido e gás desaparece. Isso significa que, nesse ponto, as propriedades do líquido e do gás são iguais. As coordenadas desse ponto são (pressão crítica), (temperatura crítica) e (volume crítico).

Passo 3

Para encontrar as constantes ( partial Ppartial v )Tc = 0 e ( partial^2 Ppartial v^2 )Tc = 0 e , vamos usar as condições que devem ser satisfeitas no ponto crítico. Essas condições envolvem as derivadas da pressão em relação ao volume. Especificamente, no ponto crítico, as duas primeiras derivadas da pressão em relação ao volume são iguais a zero:

Passo 4

Vamos calcular a primeira derivada da equação de Berthelot em relação ao volume partial Ppartial v = -R T(v - b)^2 + 2aT v^3 :
-R Tc(vc - b)^2 + 2aTc vc^3 = 0 Rightarrow R Tc(vc - b)^2 = 2aTc vc^3
No ponto crítico, essa derivada é zero, então temos:

Passo 5

Agora, calculamos a segunda derivada da pressão em relação ao volume:
partial^2 Ppartial v^2 = 2R T(v - b)^3 - 6aT v^4
Também no ponto crítico, essa derivada é zero:
2R Tc(vc - b)^3 - 6aTc vc^4 = 0 Rightarrow 2R Tc(vc - b)^3 = 6aTc vc^4

Passo 6

Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas R Tc(vc - b)^2 = 2aTc vc^3 Rightarrow a = R Tc^2 vc^32 (vc - b)^2 e . Vamos resolver esse sistema.
Primeiro, da equação do passo 4:

Passo 7

Agora, substituímos a expressão de 2R Tc(vc - b)^3 = 6Tc vc^4 cdot R Tc^2 vc^32 (vc - b)^2 na equação do passo 5:
2R Tc(vc - b)^3 = 3R Tc^2 vc^3(vc - b)^2 Tc vc^4 Rightarrow 2R Tc(vc - b)^3 = 3R Tc(vc - b)^2 vc
Simplificando:

Passo 8

Agora, podemos dividir ambos os lados por 2 = 3 (vc - b)vc Rightarrow 2vc = 3(vc - b) Rightarrow 2vc = 3vc - 3b :
3b = vc Rightarrow b = vc3
Resolvendo para :

Passo 9

Com o valor de a = R Tc^2 vc^32 (vc - vc3)^2 = R Tc^2 vc^32 (2vc3)^2 = R Tc^2 vc^32 cdot 4vc^29 = R Tc^2 vc^3 cdot 98 vc^2 = 9 R Tc^2 vc8 encontrado, substituímos de volta na expressão para que encontramos no passo 6:

Resposta

As constantes b = vc3 e a = 9 R Tc^2 vc8 e são dadas por:

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